Presque tout est indécidable !

[Médiat]

J'aurais bien voulu intervenir à nouveau sur ce post, ne serait-ce que pour faire remarquer que les deux posts :

Si, comme les intuitioinnistes et les constructivistes, l'infini n'est considéré que comme potentiel, la question ne se pose plus.

Non, pas Heyting

Sont contradictoires puisque l'arithmétique de Heyting est justement l'arithmétique intuitionniste ; mais ayant constaté que le ton désagréable du premier post n'était pas une "humeur gracieuse d'ordre 2", mais une constante, j'ai décidé de ne plus intervenir ; et je le regrette profondément tant j'aurais aimé me faire traiter de dogmatique, de tenant de la pensée unique, de bourreau d'Aristarque et de Gödel (moi ), d'assassin de brave vieux Giordano, de contempteur de Galilée, de rhétoricien (avec nuance péjorative) etc.

Dommage, je sens que je vais déplorer longtemps de ne pas avoir posté cette remarque.
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[invitebe0cd90e]

j'aurais aimé me faire traiter de dogmatique, de tenant de la pensée unique, de bourreau d'Aristarque et de Gödel (moi ), d'assassin de brave vieux Giordano, de contempteur de Galilée, de rhétoricien (avec nuance péjorative) etc.

T'inquietes, je t'en laisse un peu

Flenne, personne n'a dit que c'etait ininterressant de parler du constructivisme, mais tu pars sur de mauvais présupposés, et ca n'a rien a voir avec de la rhétorique ou une question de dogme. mes jolis groupes de tresses ne se sont pas volatilisés le jour ou Gödel a prouvé son théorème.

[inviteeae453a2]

J'aurais bien voulu intervenir à nouveau sur ce post, ne serait-ce que pour faire remarquer que les deux posts :

Sont contradictoires puisque l'arithmétique de Heyting est justement l'arithmétique intuitionniste ; mais ayant constaté que le ton désagréable du premier post n'était pas une "humeur gracieuse d'ordre 2", mais une constante, j'ai décidé de ne plus intervenir ; et je le regrette profondément tant j'aurais aimé me faire traiter de dogmatique, de tenant de la pensée unique, de bourreau d'Aristarque et de Gödel (moi ), d'assassin de brave vieux Giordano, de contempteur de Galilée, de rhétoricien (avec nuance péjorative) etc.

Dommage, je sens que je vais déplorer longtemps de ne pas avoir posté cette remarque.

A ma connaissance (limitée) il n'existe pas de preuve de cohérence de HA1 qui soit totalement finitiste, c'est seulement pourquoi j'ai dit "Non, pas Heyting", sans penser que cette réponse serait considérée comme agressive. Et c'est pourquoi ce n'est pas contradictoire de préférer une autre approche.
C'est aussi pourquoi j'ai fait référence aux travaux de M. Yvon Gauthier, qui me semblent une approche intéressante pour sortir du problème du "presque partout indécidable", qui, je le comprends, ne gêne pas les mathématiciens, mais qui, je le dis sans agressivité, pourrait géner les physiciens et les ingénieurs, responsables de la fabrication de ponts, avions, fusées, sondes spatiales, ordinateurs, grands accélérateurs, etc. tous objets qui doivent éviter autant que possible l'indécidabilité (argument qui serait mal compris de leurs clients, même si on leur dit que les mathématiciens s'en accomodent). Voici pourquoi j'aurais aimé que notre débat soit "constructif", plutôt que rhétorique. Si les communications sur les mathématiques n'étaient que des échanges entre des personnes "qui ne savent pas de quoi elles parlent" (dont j'ai bien compris que je faisais partie) et des savants qui estiment que ce qu'ils connaissent est innaccessible hors de leur communauté, échanges arbitrés de plus par des personnes qui disent que ce que dit leur science montre que ce qu'elle dit est presque toujours indécidable, à quoi servent les mathématiques ? Améliorer la "décidabilité" des outils mathématiques pour les physiciens est donc utile, et l'approche constructiviste, qui a cet objectif, mériterait à ce titre un détour. Un constructiviste, c'est peut-être, tout simplement, un mathématicien qui prend souvent l'avion.

[invitebe0cd90e]

Flenne, je te rassure, quand bien meme on trouverait une contradiction dans ZFC demain matin, les ponts ne s'ecrouleront pas, les fusées decolleront encore, et le petit théorème de Fermat sera toujours vrai pour le plus grand soulagement des gens qui se servent de leur carte bleue sur internet....

[invitebe0cd90e]

Pour faire une analogie : si tu tires un nombre réel au hasard, tu as une probabilité 1 pour qu'il ne soit ni calculable, ni meme definissable, cad que moralement l'immense majorité des reels nous est totalement inaccessible...

Bizzarement, aucun physicien, ingenieur, informaticien... n'est jamais venu s'en plaindre (pas à moi, en tout cas..). Pourquoi a ton avis ?

Je veux bien assurer le service après vente de nos cheres mathematiques, mais crois moi le fait que les propositions soient presques toutes indecidables est un resultat purement mathematiques qui nous aide a comprendre comments elles fonctionnent, mais ca n'est un handicap ni pour les matheux, et encore beaucoup moins pour les autres.

[inviteeae453a2]

Ouf, je suis donc rassuré, je prends l'avion mercredi.
Et cette discussion confirme donc bien que les nombres "réels" ne sont bien qu'une amusante application sans aucun intérêt pratique, si ce n'est de permettre un voyage intellectuel excitant et valorisant pour l'espèce. Il se trouvera donc bien un jour un savant qui cherchera les bons outils pour approcher le "réel", même si la probabilité pour le trouver est sans doute complémentaire de celle qui est évoquée ici. Conclusio, l'indécid

[inviteeae453a2]

abilité est presque partout, mais comme le dit si bien jobhertz, on ne la trouve presque nulle part. Il est bien évident qu'aucun physicien ne manipule "physiquement" un réel non rationnel, mais combien de fois écrit-il pi, "à ton avis" ? Les physiciens ne se plaignent pas (ce n'est pas le genre), mais ils cherchent les meilleures façons de décrire le monde, et en ce moment ils ont un sacré problème, pourquoi "à ton avis" ? Mais on peut continuer à le nier et à prétendre que les mathématiques n'ont pas à se préoccuper, du haut de l'infini, de ces question bassement physiques, bin sûr ; nous en sommes encore libres.

[invitebe0cd90e]

Comme disait l'autre, ce que tu dis n'est "meme pas faux", ca n'a juste pas de sens.. Se poser la question d'a quoi servent les reels n'a pas de sens, c'est juste une formalisation correcte d'une notion intuitive, et qui permet entre autre de construire rigoureusement tous les outils de l'analyse dont les physiciens se servent, il me semble.. ET je ne vois pas en quoi le fait qu'ils se servent aussi de pi s'oppose a ce que je disait plus haut.

Et je te rassure les physiciens n'ont pas qu'un serieux probleme, comme tous les chercheurs ils en ont plein et aucun n'a a voir avec l'indecidabilité mathematique... Par contre beaucoup d'entre eux donnent lieux a des echanges dans les deux sens avec les mathematiques "pures" au benefice des deux domaines.

M'enfin il n'y a pas pire sourd que celui qui ne veut pas entendre.. Tu parait avoir quelques idées fixes cachée derriere ta mauvaise foi mais c'est dur de voir ou tu veux en venir..

[inviteeae453a2]

Bien sûr, il ne s'agit en aucun cas d'opposer Physique et Mathématiques, et d'ailleurs Philisophie. Ce que je dis simplement est exactement le contraire depuis le début de ce débat sur l'indécidabilité : le formalisme mathématique incluant les réels, et même l'infini dénombrable (considéré comme actuel) - il ne s'agit pas des réels eux-mêmes, bien sûr - est maintenant devenu inapproprié pour la physique. Ce formalisme a bien servi, depuis Newton, mais il s'est usé au contact des deux physiques encore incompatibles modernes qui l'ont poussé dans ses extrêmes limites, au-delà desquelles la "réalité" physique (les faits sont tétus) a refusé l'obstacle. Il faut donc changer de paradigme, accepter d'autres voies, et sortir du confort infinitiste qui reste très prédominant (il suffit de l'observer objectivement) dans l'enseignement actuel. L'indécidabilité générale maintenant bien établie des propositions dans le formalisme dominant n'est qu'un signal parmi d'autres qu'il faut savoir regarder et qui doit conduire à cette évolution. Mais cette réflexion ne date pas d'hier, et je préfère pour conclure laisser parler M Poincaré et M J. M. Levy-Leblond, à qui il sera plus difficile de repprocher qu'ils ne savent pas de quoi ils parlent ; le second tout d'abord :
"Spécialisation des disciplines, séparation des tâches (recherche/enseignement/diffusion), hiérarchisation des fonctions se sont conjuguées pour affaiblir considérablement l'intégration de la science à la culture commune. Si la plupart des efforts aujourd'hui déployés pour partager les savoirs émergents sont si peu efficaces, c'est que leurs soubassements ne sont pas assurés : comment expliquer la nature des quarks quand l'organisation du noyau atomique reste mystérieuse, celle des quasars quand la constitution des galaxies est méconnue ?"
voir la suite pour M Poincaré...

[invitebe0cd90e]

Bien sûr, il ne s'agit en aucun cas d'opposer Physique et Mathématiques

Ce n'est certes pas ce que tu fais, mais ce que tu m'accuses de faire..

le formalisme mathématique incluant les réels, et même l'infini dénombrable (considéré comme actuel) - il ne s'agit pas des réels eux-mêmes, bien sûr - est maintenant devenu inapproprié pour la physique.

As tu ne serait ce qu'un seul argument, ou meme un exemple qui viendrait etayer cet argument ?

Il faut donc changer de paradigme, accepter d'autres voies, et sortir du confort infinitiste qui reste très prédominant (il suffit de l'observer objectivement) dans l'enseignement actuel. L'indécidabilité générale maintenant bien établie des propositions dans le formalisme dominant n'est qu'un signal parmi d'autres qu'il faut savoir regarder et qui doit conduire à cette évolution.

Confort infinitiste ? Indecidabilité generale ? un signal de quoi ? Quel rapport avec la physique ?

Quant a ta citation, pour autant que je sache encore lire elle parle du probleme de l'hyper specialisation, rien a voir avec ton propos, m'enfin...

Si la relativité et la physique quantique sont difficile a concilier (puisque tu as l'air de penser que c'est la seule piste de recherche de la physique actuelle..) c'est simplement parce que leurs domaines d'application sont infiniment eloigné l'un de l'autres, et que les conditions necessaires pour que les effets des deux se manifestent sont des conditions plus qu'extremes...

Ca n'a rien a voir avec un probleme fondamental des mathematiques, au contraire. La relativité, la physique quantique, le modele standard font partie des domaines de la physique les plus proches des maths pures..

[inviteeae453a2]

Henri Poincaré disait si bien aux mathématiciens, voici un siècle, comment "diriger le gros de leur troupes"
"... ce qui a déterminé jusqu'ici le sens du mouvement de la science mathématique, c'est aussi bien certainement ce qui le déterminera dans l'avenir. Mais la nature des problèmes qui se posent y contribue également. Nous ne pouvons oublier quel doit être notre but ; selon moi, ce but est double : notre science confine à la fois à la Philosophie et à la Physique, et c'est pour nos deux voisines que nous travaillons ; aussi nous avons toujours vu et nous verrons encore les mathématiciens marcher dans deux directions opposées.
D'une part, la science mathématique doit réfléchir sur elle-même, et cela est utile, parce que réfléchir sur elle-même, c'est réfléchir sur l'esprit humain qui l'a créée, d'autant plus que c'est celle de ses créations pour laquelle il a fait le moins d'emprunts au dehors. C'est pourquoi certaines spéculations mathématiques sont utiles, comme celles qui visent l'étude des postulats, des géométries inaccoutumées, des fonctions à allures étranges. Plus ces spéculations s'écarteront des conceptions les plus communes, et par conséquent de la Nature et des applications, mieux elles nous montreront ce que l'esprit humain peut faire, quand il se soustrait de plus en plus à la tyrannie du monde extérieur, mieux, par conséquent, elles nous le feront connaître en lui-même.
Mais c'est du côté opposé, du côté de la Nature, qu'il faut diriger le gros de notre armée..."
Profitons tous de ce que la "pure " réflexion mathématique nous a maintenant apporté, y compris sur ses propres limites, lièes à certains concepts par ailleurs légitimes, pour revenir sur ces concepts et pour les confronter aux limites que la physique rencontre, avec ses propres incompatibilités. Ce sera sans nul doute gage de fécondité.

[Médiat]

Et nous voilà revenu à l'éternel débat sur les mathématiques pures et les mathématiques appliquées, qui se prolonge (depuis plus de 50 ans) par le débat sur les mathématiques pleines et les mathématiques vides, et qui trouve un écho dans l'actuelle évolution de l'université vers l'industrie, voulu par certains, ce débat est donc politique, rien de plus.

[inviteeae453a2]

Pourquoi dire ça, c'est faux, ou alors c'est pour refuser le débat sur le constructivisme, très bien.
Ceux qui le veulent pourront aller voir, par exemple et parmi tant d'autres http://www.lactamme.polytechnique.fr...rs.01.Fra.html pour les arguments sur les problèmes posés à la physique par le concept d'infini "actuel".
Et traiter ainsi M Poincaré me semble peu honnête, car on ne peut pas le taxer d'avoir voulu opposer des mathématiques entre elles et avec la physique sous prétexte de "pollution" par l'industrie, ou alors c'est faire preuve d'idéologie pure. Je me refuse à entrer dans ce type de dicussion, mes propos n'ont strictement rien à voir (en ce qui me concerne) avec la politique, mais je pense que l'interlocuteur n'est pas sur le même registre et s'y installe de lui-même, dommage.

[Médiat]

1) Pourquoi dire ça, c'est faux, ou alors c'est pour refuser le débat sur le constructivisme, très bien.
Ceux qui le veulent pourront aller voir, par exemple et parmi tant d'autres http://www.lactamme.polytechnique.fr...rs.01.Fra.html pour les arguments sur les problèmes posés à la physique par le concept d'infini "actuel".
2) Et traiter ainsi M Poincaré me semble peu honnête,
3) car on ne peut pas le taxer d'avoir voulu opposer des mathématiques entre elles et avec la physique sous prétexte de "pollution" par l'industrie, ou alors c'est faire preuve d'idéologie pure.

C'est un chef d'oeuvre de mauvaise foi ou bien ne savez-vous pas lire ?
1) Je n'ai, dans aucune de mes intervention prononcé la moindre critique sur le constructivisme (d'autant plus que vous semblez parler plus du finitisme, mais comme vous n'êtes pas toujours cohérent d'un post sur l'autre, je ne suis sûr de rien), et ma dernière intervention n'a rien à voir avec les contructivisme.
2) Je ne sache pas que "Profitons tous de ce que la "pure " réflexion mathématique nous a maintenant apporté, y compris sur ses propres limites, lièes à certains concepts par ailleurs légitimes, pour revenir sur ces concepts et pour les confronter aux limites que la physique rencontre, avec ses propres incompatibilités. Ce sera sans nul doute gage de fécondité." soit signé Poincaré (avec qui je peux, en tout état de cause être en désaccord si cela me chante).
3) J'ai bien écrit "[...]qui trouve un écho dans l'actuelle [...]", vous saisissez la différence ?

Je me refuse à entrer dans ce type de dicussion,

C'est exactement ce que je disais.

mais je pense que l'interlocuteur n'est pas sur le même registre et s'y installe de lui-même, dommage.

Si "l'interlocuteur" voulait bien arrêter de penser à ce que je pense, il serait moins certain de se tromper (la preuve ci-dessus).

Sur le fond du problème, je suis en parfait accord avec jobhertz.

[inviteeae453a2]

Je suis d'accord, pas la moindre critique sur le constructivisme, ni quoi que soit d'autre d'ailleurs à ce sujet, ni sur le problème posé par l'indécidabilité, qui est l'objet de ce débat, ni sur les conséquences qu'il faudra bien un jour en tirer, à la fois sur le plan philosophique et sur le plan de la physique. Si quelqu'un souhaite parler enfin de l'objet du débat, ce serait formidable. C'est l'unique objectif de mes tentatives d'échanges. Je serais heureux en particulier d'avoir un retour argumenté sur l'exemple, qui n'est pas le seul, que j'ai donné : http://www.lactamme.polytechnique.fr...rs.01.Fra.html . Quant à l'infini, Alber Einstein avait sa petite idée : à la fin de sa vie il a pu dire que la solution aux contradictions de la physique viendrait peut-être d'une meilleure compréhension de la géométrie du point, et il a dit également ce qu'il pensait de l'infini : "Il n'existe que deux choses infinies, l'univers et la bêtise humaine... mais pour l'univers, je n'ai pas de certitude absolue". Au moins cette dernière remarque va satisfaire les tenants irréductibles de l'infini actuel. Ce dernier n'est pas indispensable aux mathématiques, mais rien bien sûr n'interdit de jouer avec, puisque l'hypothèse du continu est indécidable. Donc rien n'interdit non plus de ne pas la considérer en mathématiques, d'autant moins que l'infini n'a aucune utilité pratique ni théorique (la renormalisation quantique en est un bel exemple) en physique. Merci donc aux mathématiciens qui travaillent dans cette voie, celle de l'infini potentiel, et encore une fois, il ne s'agit pas de s'opposer aux autres, qui ont évidemment le droit de faire l'autre choix, certes passionnant pour les philosophes mais maintenant sans grand intérêt pour la physique qui veut poursuivre sa route vers une plus grande convergence dans la compréhension du monde. Voir aussi les travaux de Hourya Sinaceur

[invite986312212]

Au moins cette dernière remarque va satisfaire les tenants irréductibles de l'infini actuel.

le terme "irréductibles" fait penser au petit groupe de Gaulois de la fameuse bande dessinée, sauf que... c'est les non-tenants de l'infini actuels qui doivent être bien rares actuellement

[invitebe0cd90e]

c'est un regal

Je suis d'accord, pas la moindre critique sur le constructivisme, ni quoi que soit d'autre d'ailleurs à ce sujet, ni sur le problème posé par l'indécidabilité, qui est l'objet de ce débat, ni sur les conséquences qu'il faudra bien un jour en tirer, à la fois sur le plan philosophique et sur le plan de la physique. Si quelqu'un souhaite parler enfin de l'objet du débat, ce serait formidable.

et c'est toi qui nous dit ca Tu ne souhaite pas debattre du constructivisme, tu souhaites debattre autour du sujet : "puisque les maths sont en perdition, la physique au bord de l'echec, tout ca a cause de l'infinitisme, de l'indecidabilité et de la droite réelle, alors parlons du constructivisme".

Pour debattre il faudrait deja qu'on soit d'accord sur les presupposés.... Toi qui nous donne des leçons de philo, tu devrais savoir ca, non ?

Ce dernier n'est pas indispensable aux mathématiques, mais rien bien sûr n'interdit de jouer avec, puisque l'hypothèse du continu est indécidable.

Il est indispensable aux maths actuelles, et le fait que HC soit indecidable n'a rien a voir avec le fait qu'on aie "le droit de jouer avec".... Qu(HC soit prise comme vraie ou fausse n'empeche pas que les entiers sont en nombre infini, et les réels en nombre infini non denombrable...

Donc rien n'interdit non plus de ne pas la considérer en mathématiques, d'autant moins que l'infini n'a aucune utilité pratique ni théorique (la renormalisation quantique en est un bel exemple) en physique.

Ah bon ? d'abord peux tu m'expliquer quel sens pourrait avoir la notion "d'utilité de l'infini" ? Ensuite, je sais pas, une serie formelle, un espace de Hilbert, Pi, toutes ces choses qui necessitent un infini actuel, ca ne sert pas en physique, sans doute ?

je te jure que je suis plus pointilleux sur ce qu'on a le droit de faire en manipulant des infinis que l'essentiel des physiciens dont j'utilise les travaux.

Merci donc aux mathématiciens qui travaillent dans cette voie, celle de l'infini potentiel

Puisqu'ils vont sauver la physique ? Aboutir a la theorie du tout ? Plus fort que les cordes, la gravité a boucle et la geometrie non commutative reunis, voici l'infini potentiel...

Le constructivisme est interressant du point de vue mathematique. Mais c'est de la cuisine interne, de l'exterieur les physiciens s'en fichent... Tu crois vraiment que les singularités, les quantités infinies qui apparaissent dans leurs equations vont disparaitre d'un seul coup quand on aura decidé d'etre constructiviste, ou finitiste ? Tu ne crois pas plutot qu'elles disparaitront quand ils auront des modeles plus fins, qui feront appel a des mathematiques plus élaborées ?

[inviteeae453a2]

Je n'ai jamais dit, comme le laisse supposer les "", "puisque les maths sont en perdition, la physique au bord de l'echec, tout ça à cause de l'infinitisme, de l'indécidabilité et de la droite réelle, alors parlons du constructivisme". C'est tout à fait à l'opposé de ce que je pense, et une telle interprétation de mes propos est loin de la rigueur que les mathématiques exigeraient ! Et bien sûr je sais que tous les concepts et outils faisant appel à l'infini ont été et restent toujours utiles en physique, là encore je n'ai jamais dit "que les singularités, les quantités infinies qui apparaissent dans leurs équations vont disparaitre d'un seul coup quand on aura décidé d'être constructiviste, ou finitiste", et je ne donne à personne de "leçon de philo", c'est ridicule : encore une phrase gratuite, caricaturale sur des propos et pas très pointilleuse de votre part. Je dis donc et je répète, en français (et merci de ne pas faire semblant de traduire, en déformant), que l'infini (non comme outil mathématique pratique, mais comme grandeur physique), n'a aucun sens, et d'ailleurs les résultats qui y conduisent sont astucieusement éliminés (et selon une méthode que Feynman n'appouvait d'ailleurs pas). Il s'agit donc, encore une fois, de mieux explorer la voie constructiviste, qui permet de raisonner sans cette hypothèse (au sens "actuel" c'est-à-dire donné a priori) tout en la conservant comme potentielle (et donc utilisable comme outil, rien de plus). Cette voie doit à mon sens permettre en particulier de contourner les problémes mathématiques que posent l'indécidabilité. Et dire que, je vous cite pour ma part sans déformer, "Le constructivisme est interressant du point de vue mathématique. Mais c'est de la cuisine interne, de l'extérieur les physiciens s'en fichent..." c'est un peu vite oublier Turing et tant d'autres après lui. Je ne fais pas du constructivisme une religion, mais je suis étonné que d'autres en fassent une de l'opposition à la recherche constructiviste mathématique au profit des progrès de la physique. Y aurait-il des chapelles à sauver quelque part ? Mais personne ne cherche à détruire personne, soyez sans craindre ; encore une fois, il s'agit ici de continuer à construire. Merci de bien vouloir le faire, sans chercher à ridiculiser les propos.

[invitebe0cd90e]

Il va quand meme falloir nous expliquer quel lien tu fais entre :

- l'infini comme grandeur physique
- la notion d'infini actuel en mathematique
- l'indecidabilité

Et par consequent en quoi une approche constructiviste pourrait resoudre des problemes qui apparaissent en physique.

je ne traduis pas, je ne deforme pas, je cite :

que l'infini (non comme outil mathématique pratique, mais comme grandeur physique), n'a aucun sens, et d'ailleurs les résultats qui y conduisent sont astucieusement éliminés [...]. Il s'agit donc, encore une fois, de mieux explorer la voie constructiviste, qui permet de raisonner sans cette hypothèse (au sens "actuel" c'est-à-dire donné a priori) tout en la conservant comme potentielle (et donc utilisable comme outil, rien de plus). Cette voie doit à mon sens permettre en particulier de contourner les problémes mathématiques que posent l'indécidabilité.

Tu melanges 3 choses qui n'ont rien a voir. Et encore une fois, l'indecidabilité ne pose pas de problemes, ni en maths, ni en physique. C'est une propriété intrinseque de tout systeme logique suffisamment riche, point barre.

[Médiat]

jobhertz : et .

Je ne sais pas comment tu fais, j'ai failli continuer à intervenir sur le fond à cause du lien sur le texte de JF Colonna, mais je suis trop rébuté par la mauvaise foi et le ton de ces posts (qui d'ailleurs auraient, peut-être, leur place en physique (ou débats scientifiques, ou épistémologie), mais, en tout état de cause, pas ici d'une façon générale et dans un fil sur l'indécidabilité en particulier).

Donc je continue de pas publier ce post.

[inviteeae453a2]

Merci de citer cette fois sans déformer, et retour aux fondamentaux sur votre demande, mais je ne comprends pas bien pourquoi c'est à moi de le faire, alors que je reçois des leçons péromptoires, aussi fortes que :
"Tu mélanges 3 choses qui n'ont rien à voir" Ah bon! C'est aussi à vous d'argumenter pour démontrer qu'elles "n'ont rien à voir".
Ou encore "Et encore une fois, l'indecidabilité ne pose pas de problèmes, ni en maths, ni en physique. C'est une propriété intrinsèque de tout système logique suffisamment riche, point barre." Ca aussi, c'est un peu court comme démonstration, et d'autres bien plus savants que moi disent le contraire (voir les exemples que j'ai cités).
Indécidabilité : une proposition est dite indécidable dans une théorie axiomatique, si on ne peut pas la démontrer ni démontrer sa négation dans le cadre de cette théorie.
Infini actuel : c'est Cantor avec la Théorie des Infinis qui définit entre autres les Cardinaux Infinis, dont celui de l'ensemble des réels, qui a donné une définition mathématique précise de l'Infini Actuel, qui existe selon lui concrétement et a priori, et qui est donc manipulable. Les travaux sur l'indécidabilité ont démontré qu'il n'en était rien : l'hypothèse du continu est indécidable, et il est tout aussi possible d'affirler que l'infini actuel, donné a priori, n'existe pas, et donc qu'il faut considérer l'infini de façon tout aussi légitime comme potentiel, en perpétuelle construction.
Quant à l'infini en physique, je crois l'avoir dit, il n'est considéré, il est même rejeté comme résultat utile (voir par exemple les procédures de renormalisation en physique quantique), d'où la necessité de disposer d'outils permettant de les éviter (voir supra).
Voicic

[Médiat]

Infini actuel : c'est Cantor avec la Théorie des Infinis qui définit entre autres les Cardinaux Infinis, dont celui de l'ensemble des réels, qui a donné une définition mathématique précise de l'Infini Actuel, qui existe selon lui concrétement et a priori, et qui est donc manipulable. Les travaux sur l'indécidabilité ont démontré qu'il n'en était rien : l'hypothèse du continu est indécidable, et il est tout aussi possible d'affirler que l'infini actuel, donné a priori, n'existe pas, et donc qu'il faut considérer l'infini de façon tout aussi légitime comme potentiel, en perpétuelle construction.

J'ai bien cité sans déformer ?
Quels travaux sur l'indécidabilité ont démontré que les transfinis de Cantor (les infinis actuels) ne sont pas manipulables ?
Quel rapport entre l'indécidabilité de HC et l'affirmation que les transfinis de Cantor n'existent pas ?
Que veut dire exister et manipulable dans les phrases ci-dessus ?

[inviteeae453a2]

Encore une fois, je n'ai pas dit que les transfinis n'étaient pas manipulables, mais qu'il était possible de les considérer ou non comme tels. Alors puisqu'il paraît que les physiciens se moquent du problème de l'infini, après Einstein citons Christian Magnan, astrophysicien :

« L'infini est une notion mathématique qui n'a pas d'équivalent dans le monde physique. Soutenir que notre Univers serait « infini » est absurde car cela ne signifie rien en réalité. Toute théorie physique implique des nombres, en tant que tels forcément répartis sur un intervalle fini. Par conséquent un univers infini, situé hors du domaine de la mesure, s'exclut ipso facto du cadre de la physique. »
C'est Gödel qui a prouvé qu’on ne peut pas répondre à la question de savoir si l'hypothèse du continu était indécidable, elle est donc au choix, vraie (on peut ou non l'utiliser, c'est-à-dire elle est ou non manipulable - du verbe manipuler, faire des opérations avec les mains, y compris en laboratoire, au sens premier, en s'aidant aussi du cerveau, bien sûr - ). On dit donc qu’elle est indécidable, ce qui ne signifie pas que les transfinis de Cantor "n'existent pas", mais simplement qu'il est possible de dire soit qu'ils "existent", soit qu'ils "n'existent pas", et ce dernier choix est plus satisfaisant en physique, au moins tant qu'un physicien n'a pas mis en évidence un infini, dans son laboratoire ou ailleurs.
Et si les physiciens ne sont pas génés, comme il a été dit plus haut, par l'indécidabilité, il me tarde d'en voir un mettre en évidence une loi physique indécidable. Pour le moment, en attendant cette loi, il est préférable de trouver des outils mathématiques qui évitent l'indécidabilité. Si les mathématiques de l'infini "actuel" et de l'indécidable s'avèrent être les seuls bons outils pour la physique, merci de me répondre dès qu'une loi physique indécidable aura été mise au point (et bien sûr prouvée par l'expérience, ou tout au moins réfutable, comme l'exige la physique!), surtout si elle met en évidence un infini, quel qu'il soit.

[invitebe0cd90e]

C'est toujours un sacré dilemne... De toute evidence, tu ne maitrise pas les notions dont tu parles, sauf que si je le dis je passe pour un pompeux qui abuse de l'argument d'autorité...

M'enfin, essayons quand meme.. L'indecidabilité de l'hypothese du continu dit en substance qu'on ne peut pas demontrer dans la theorie des ensemble s'il existe des cardinaux intermediaire entre celui des entiers et celui des reels. mais ca ne remet en aucun cas en question la notion d'infini actuel.

Le fait que tout systeme logique contient des propositions indecidable est exactement ce que dit le fameux mais souvent incompris theoreme de Gödel. Ca n'a a peu pres rien a voir avec la notion d'infini.

Le fait qu'une grandeur physique infinie n'a pas de sens est une presque evidence, qui n'a rien a voir avec les question precedente. La notion d'infini actuel permet, tres grossierement, de dire rigoureusement que pi "existe" mathematiquement parlant, ce qui est, tu me l'accorderas, plutot une bonne chose. Elle n'a pas grand chose a voir avec le fait qu'on autorise ou non une fonction reelle a prendre une valeur infinie.

[Médiat]

Je suis désolé, mais, en plus de ce qu'à écrit jobhertz, je ne vois pas comment il est possible de discuter quand "l'interlocuteur" se contredit d'un post sur l'autre :

Infini actuel : c'est Cantor avec la Théorie des Infinis qui définit entre autres les Cardinaux Infinis, dont celui de l'ensemble des réels, qui a donné une définition mathématique précise de l'Infini Actuel, qui existe selon lui concrétement et a priori, et qui est donc manipulable. Les travaux sur l'indécidabilité ont démontré qu'il n'en était rien

Encore une fois, je n'ai pas dit que les transfinis n'étaient pas manipulables,

Qui ne répond pas aux questions :

Quels travaux sur l'indécidabilité ont démontré que les transfinis de Cantor (les infinis actuels) ne sont pas manipulables ?

Toujours pas de réponse (ce qui n'est pas étonnant).

ou quand il écrit des choses manifestement fausses

C'est Gödel qui a prouvé qu’on ne peut pas répondre à la question de savoir si l'hypothèse du continu était indécidable

Ceci est faux pour au moins deux raisons : on peut parfaitement répondre à la question de savoir si HC est indécidable, et ce n'est pas Gödel qui a donné cette réponse, même s'il y a participé, mais Paul Cohen 25 ans après les travaux de Gödel.

ou quand il ne maîtrise les mots mis bout à bout dans des phrases bien péremptoires

On dit donc qu’elle [HC]est indécidable, ce qui ne signifie pas que les transfinis de Cantor "n'existent pas", mais simplement qu'il est possible de dire soit qu'ils "existent", soit qu'ils "n'existent pas",

L'indécidabilité de HC, n'ayant rien à voir avec les transfinis de Cantor.

En fait si vous voulez éviter les transfinis de Cantor, il suffit de retirer l'axiome de l'infini à ZF, voir d'ajouter son contraire, et là, bonne nouvelle, on sait que cette théorie est consistante et on en connaît même un modèle, mauvaise nouvelle pour vous, cela n'a rien à voir avec l'intuitionnisme ou le constructivisme.


Je précise (c'est un de mes TOC) que le théorème d'incomplétude de Gödel ne concerne pas tous les systèmes logiques, mais les systèmes formels en logique classique du premier ordre, récursivement axiomatisables, consistants et permettant de formaliser l'arithmétique.

[Médiat]

Je voudrais ajouter une petite chose (peut-être pour mon seul plaisir) :
0) Si ZF (donc ZFC) est consistante, alors il existe un modèle où (le plus petit ordinal qui ne s’injecte pas dans un ordinal plus petit) et (l’ensemble des parties de ) ne sont pas isomorphes (en tant qu’ensembles), alors qu’ils sont tous les deux dénombrables.
1) La phrase 0) ci-dessus est correcte
2) La phrase 0) ci-dessus n’est pas correcte
3) Les deux phrases 1) et 2) ci-dessus n’illustrent pas l’indécidabilité
4) Une de ces phrases est fausse

[inviteeae453a2]

Merci pour cette tentative, et nous voilà enfin revenu au débat objet de ce fil. Si ce fil ne s'adressait qu'aux docteurs es-sciences mathématiques, il n'aurait pas de raison d'être, bien sûr. J'ai bien aimé les "à peu près" dans votre réponse, et il est faux (désolé) de dire "que tout système logique contient des propositions indécidables", car la démonstration ne concerne que les systèmes logiques faisant appel aux théories des nombres qui font référence à l'infini actuel. Il va donc falloir relire Gödel, ou bien être plus précis, car je ne doute pas que vous le saviez. C'est justemant là le point faible de toutes vos réponses : vous dites, je cite, que "Ca n'a à peu près rien à voir avec la notion d'infini", le à peu près est bien venu, car c'est justement de l'infini actuel, que Gödel utilise d'ailleurs dans sa démonstration, dont il est ici question.
En ce qui concerne les réels non rationnels, quels qu'ils soient, ils ne peuvent être entièrement connus qu'après un calcul infini, et les fonctions utilisées par la physique moderne (relativiste ou quantique, et ce sont des questions qui ne s'adressent pas qu'aux activités scientifiques aux limites de la connaissance, comme cela avait été avancé plus haut) sont pour une bonne part très sensibles aux conditions initiales et aux résultats des calculs intermédiares. Les approximations incontournables de réels non rationnels par des rationnels calculables sont à l'origine de divergences, au minimum cahotiques, au pire catastrophiques. Simple rappel sur un exemple, il y en a mille autres : le fonctionnement des sytèmes de navigation par satellites font appel aux équations de la relativité générale pour garantir les précisions métriques
Ainsi, l'infini considéré comme actuel, qui seul permet de décider de "l'existence" des réels, s'il n'a aucune conséquence sur les mathématiciens qui l'adopte, et qui s'accomodent en même temps de l'indécidabilité presque partout (encore que Cantor y a renoncé à la fin de sa vie et que Gödel en a souffert), ne convient plus à la physique pour poursuivre sa route. Je ne nie pas pour autant que ces concepts ont été utiles aux progrès scientifiques et seront encore utiles, ici ou ailleurs, en particulier pour simplifier certains démarches, ou pour explorer les limites de la pensée humaine. Mais il va falloir un jour accepter (certains le font déjà) qu'un autre paradigme que celui que la plupart des mathématiciens adoptent aujourd'hui soit plus efficace pour avancer sur la connaissance du monde.
Merci encore, en espérant que quelques constructivistes, qui savent (eux) de quoi il parlent, poursuivent à ma place ce débat avec vous.

[inviteeae453a2]

Merci aussi aux lecteurs anonymes de ceblog et à ceux qui l'ont initié, ce débat est essentiel.

[invite14e03d2a]

Mais il va falloir un jour accepter (...) qu'un autre paradigme que celui que la plupart des mathématiciens adoptent aujourd'hui soit plus efficace pour avancer sur la connaissance du monde.

Je ne savais pas que l'ambition première de la plupart des mathématiciens étaient de faire "avancer la connaissance du monde" et que par conséquent, ils étaient au service de la physique...

[invite14e03d2a]

Je voudrais ajouter une petite chose (peut-être pour mon seul plaisir) :
0) Si ZF (donc ZFC) est consistante, alors il existe un modèle où (le plus petit ordinal qui ne s’injecte pas dans un ordinal plus petit) et (l’ensemble des parties de ) ne sont pas isomorphes (en tant qu’ensembles), alors qu’ils sont tous les deux dénombrables.
1) La phrase 0) ci-dessus est correcte
2) La phrase 0) ci-dessus n’est pas correcte
3) Les deux phrases 1) et 2) ci-dessus n’illustrent pas l’indécidabilité
4) Une de ces phrases est fausse

Oula! J'ai besoin d'une explication.
C'est quoi un isomorphisme entre ensembles? Juste une bijection?
Dans ce cas, si et (?) sont dénombrables, ils sont isomorphes.
Donc la phrase 0) n'est pas correcte.

Mais, venant de Mediat, cela me paraît trop simple