Presque tout est indécidable !

[Médiat]

car la démonstration ne concerne que les systèmes logiques faisant appel aux théories des nombres qui font référence à l'infini actuel. Il va donc falloir relire Gödel, ou bien être plus précis, car je ne doute pas que vous le saviez.

Je vous conseille de le lire déjà une fois, et si vous pouviez en profiter pour lire un livre sur la courtoisie, je suis certain que cela vous ferait le plus grand bien pour apprendre à vous adresser aux "interlocuteurs".

c'est justement de l'infini actuel, que Gödel utilise d'ailleurs dans sa démonstration, dont il est ici question.

Pouvez-vous préciser à quel endroit ?
-----

[Médiat]

C'est quoi un isomorphisme entre ensembles? Juste une bijection?

Tout à fait

Dans ce cas, si et (?) sont dénombrables, ils sont isomorphes. Donc la phrase 0) n'est pas correcte.

Tu viens de justifier (mais avec un gros manque d'explication) la phrase 2)

Mais, venant de Mediat, cela me paraît trop simple

Merci de ce crédit


PS : Pour éviter des erreurs d'interprétation la phrase 4) aurait dû être :

4) Une seule de ces phrases est fausse

[Médiat]

Pouvez-vous préciser à quel endroit ?

Si "l'interlocuteur" voulait bien répondre à cette question au lieu de les fuir, j'aimerais tant apprendre quelque chose sur le théorème d'incomplétude de Gödel ...

[taladris]

Dans ce cas, si N et R (?) sont dénombrables, ils sont isomorphes. Donc la phrase 0) n'est pas correcte.

Tu viens de justifier (mais avec un gros manque d'explication) la phrase 2)

Par définition, dire qu'un ensemble est dénombrable signifie être isomorphe à N.
Ce qui prouve que la phrase 0) n'est pas correcte.

[Médiat]

Par définition, dire qu'un ensemble est dénombrable signifie être isomorphe à N.
Ce qui prouve que la phrase 0) n'est pas correcte.

C'est exact, mais il y a une petite astuce qui me permet d'affirmer que les phrase 1) et 2) sont vraies, et donc que l'on peut dire que 0) n'est pas correcte, pour la raison que tu invoques, mais tu ne donnes pas la précision à laquelle j'ai fait allusion plus tôt, cette précision n'est perceptible que si on sait dire pourquoi la phrase 0) est correcte .

C'est vicieux, mais parfaitement justifié (j'ai hésité à le mettre dans science ludique )

[inviteeae453a2]

La place manquerait ici pour reprendre le théorème de Gödel, et tous ceux qui les ont suivi. On se réfèrera utilement, par exemple, au petit ouvrage de E NAGEL, J NEWMAN, JY GIRARD et reprenant K GÖDEL, "Le théorème de Gödel" au Seuil

[Médiat]

La place manquerait ici pour reprendre le théorème de Gödel, et tous ceux qui les ont suivi. On se réfèrera utilement, par exemple, au petit ouvrage de E NAGEL, J NEWMAN, JY GIRARD et reprenant K GÖDEL, "Le théorème de Gödel" au Seuil

Je possède cet ouvrage, indiquez-moi simplement à quel page Gödel utilise un infini actuel, comme vous l'avez dit :

c'est justement de l'infini actuel, que Gödel utilise d'ailleurs dans sa démonstration

[invité576543]

(le plus petit ordinal qui ne s’injecte pas dans un ordinal plus petit)

Juste une clarification. Je n'ai pas compris la phrase ci-dessus. Comment l'ensemble vide s'injecte dans un ordinal plus petit par exemple? Je pense que je comprends "s'injecte" de travers.

Cordialement,

[inviteeae453a2]

Très bien, mais ce sera ma dernière contribution, car si vous avez ce livre vous savez aussi bien le lire que moi :
Voir par exemple page 70 note 1 qui rappelle que la démonstration de Gödel fait appel à la théorie des nombres cardianaux, ce que chacun sait.

[Médiat]

Comment l'ensemble vide s'injecte dans un ordinal plus petit par exemple?

J'aurais dû dire : le plus petit des ordinaux dans lequel un ordinal strictement plus grand s'injecte .

Il s'agit, évidemment du plus petit ordinal infini, j'ai failli écrire la bonne définition : le plus petit ordinal limite, mais je me suis dit que tout le monde ne connaissais pas cette définition ... En tout état de cause, il s'agit bien de (ou )

mea culpa.

[Médiat]

Très bien, mais ce sera ma dernière contribution

Enfin une bonne nouvelle !

car si vous avez ce livre vous savez aussi bien le lire que moi

Mieux, même, il vous suffit de lire la suite, pour vous en convaincre.

Voir par exemple page 70 note 1 qui rappelle que la démonstration de Gödel fait appel à la théorie des nombres cardianaux

La note 1 en bas de la page 70 est :

Il [Gödel] se servit d'une adaptation du système développé dans les Principia Mathematica. Mais n'importe quel calcul dans lequel le système des nombres cardinaux peut être construit aurait pu convenir.(sic)

(je me demande s'il n'y a pas une faute de frappe et s'il ne faudrait pas lire la fin : [...]n'importe quel système dans lequel le calcul[...])

Cette phrase ne veut pas dire que l'infini actuel est nécessaire dans la démonstration de Gödel, mais que celle-ci peut se faire dans n'importe quel système (je traduis) qui permet de formaliser l'arithmétique (comme je l'ai déjà dit au message # 55 de ce même fil).

Je vous fais aussi remarquer que si cette remarque obligeait à prendre en compte les cardinaux transfinis, cela voudrait dire que l'arithmétique de Peano n'est pas concerné par le théorème d'incomplétude de Gödel : vous êtes à deux doigts de la gloire mondiale !

ce que chacun sait.

: Faites de la politique et abandonnez les mathématiques, cela semble mieux vous convenir.


Je vous repose donc la question à laquelle vous n'avez pas répondu, et à laquelle vous ne répondrez pas si j'ai bien compris :

A quel endroit de sa démonstration, Gödel utilise-t-il un infini actuel

[invité576543]

qui rappelle que la démonstration de Gödel fait appel à la théorie des nombres cardinaux.

Les nombres cardinaux sont bien définis même sans l'axiome de l'infini.

Sinon, à ce que j'en sais, la démo du théorème d'incomplétude porte entièrement sur le codage de prédicats par des chaînes finies de caractères en nombre fini. Je ne vois pas trop pourquoi l'axiome de l'infini serait nécessaire.

Cordialement,

Edit : Hmmm, on ne devrait pas taper un message puis l'envoyer bien après quant on est interrompu... Pas grave.

[invite58633955]

Bonjour,
Je ne suis pas physiciens ni logiciens donc je vais certainement dire des bétises d'un point de vue logique ou physique.
Mais cette volonté utilitariste des mathématiques me navre un peu. Je ne fais aps de maths pour comprendre le monde ni pour décrire le réel et encore moins pour servir de boite a outils pour physiciens.
De mon point de vue personnel le théorème de Godel est salvateur puisque les mathematiques ne pourront justement jamais se réduire à un jeu formel. Je préfère de loin cette situation, à un situation disons du type du jeu d'echecs ou les ordinateurs deviennent meilleurs que les humains.

Ensuite en jugeant sur l'efficacité mathématique, justement les mathématiques constructivistes se sont elles même "détruites" du fait de leur impossibilité à "produire" si vous me permettez l'expression et que des matheux au potentiel aussi extraodrinaire que Brouwer, n'ont pas reussi à faire des mathématiques constructivistes des maths qui fonctionnent et qui prouvent des théorèmes.

Pour avoir quelques amis physiciens, je sais que les soucis des physiciens sont vraiment "autre" que ça...la question de l'infini n'est pas un souci (bon je laisse de côte le probleme de renormalisation où il n'est pas du tout question de "virer" l'infini de la physique, mais plutot d'arriver a faire des predictions), et les problemes sont ailleurs.

Enfin vous dites quand la physique produira une formule non dmontrable...c'est le cas tout le temps en physique, elle n'est pas "propre" d'un point de vue mathématique, les physiciens se soucient peu (par rapport au matheux) de véritablement prouver la légitimité de leurx constructions, de leurs formules. Je vais prendre un exemple (relativement) assez simple pour expliquer ceci. Quand on débute la mecanique Quantique, on travaille dans L², et les physiciens s'amusent à dire que leurs fonctions d'onde sont "nulles à l'infini" ce que tout matheux sait pertinament etre faux, ca n'empeche pas que la meca Q ignore justement ces "cas douteux".

Une dernière chose, je trouve que s'inquieter de l'indecidabilité en maths (et encore plus en physique) ca revient un peu à s'inquieter que la boulangère décide de faire payer sa baguette un prix irrationnel et qu'elle ne puisse pas du coup nous rendre la monnaie. C'est vrai que presque tous les nombres sont irrationels, mais "on ne les voit pas". C'est un peu la meme chose pour l'indecidabilité...sauf à la créer à dessein, on ne la voit pas.

"Si on prouvait demain qu'on ne peut pas prouver que le monde existe, est ce que ca changerait votre façon de faire vos courses?"(approximatif et d'auteur inconnu)

[inviteeae453a2]

Et si on revenait à la question initiale, (ce que je tente de faire avec peu de succès depuis le début, en dépit de certains intervenants qui ne font que critiquer, déformer et ridiculiser les questions, et en poser d'autres plutôt que d'amorcer des réponses, peut-être dans le but de se faire mousser, où pour cacher leur incapacité à répondre par eux-mêmes) : "quelles sont conséquences, en particulier pour la science mathématique, de la démonstration de son indécidabilité presque partout". Deux cas, au moins:
1 - Il n'y en a aucune, ou très peu, et alors on explique pourquoi, et on considère que ce théorème sur l'indécidabilité est superbe mais ne sert à rien;
2 - Il y a des conséquences, qui se traduisent par exemple per certaines impasses, en mathématiques, mais aussi en physique, en épistémologie, etc, et dans ce cas on réfléchi à une évolution ou à un changement de paradigme pour progresser.
Je repose donc la question aux spécialistes : dans quel cas nous trouvons nous, et pourquoi ?

[Médiat]

Et si on revenait à la question initiale

Bonne idée, cela vous évitera d'avoir à répondre aux questions qui vous sont posées et qui vous permettraient de justifier vos différentes affirmations aussi péremptoires que fausses.

(ce que je tente de faire avec peu de succès depuis le début, en dépit de certains intervenants qui ne font que critiquer, déformer et ridiculiser les questions, et en poser d'autres plutôt que d'amorcer des réponses, peut-être dans le but de se faire mousser, où pour cacher leur incapacité à répondre par eux-mêmes)

Damned ! I am percé à jour, ma seule joie dans la vie est de me faire mousser sur un forum et sous un pseudo pour être certain que l'on ne me reconnaisse pas !

1 - Il n'y en a aucune, ou très peu, et alors on explique pourquoi, et on considère que ce théorème sur l'indécidabilité est superbe mais ne sert à rien;

Comme le grand théorème de Fermat, le paradoxe de Banach-Tarski, la valeur des 100 premières décimales de pi (alors 100 millions ...) etc. Oh mon dieu, je viens de me rendre compte que les mathématiques pures et pire encore la logique ne servent à rien : ma vie est foutue.

2 - Il y a des conséquences, qui se traduisent par exemple per certaines impasses, en mathématiques, mais aussi en physique, en épistémologie, etc, et dans ce cas on réfléchi à une évolution ou à un changement de paradigme pour progresser.

Pourquoi l'indécidabilité de l'arithmétique serait une impasse ? C'est au contraire la certitude de n'en voir jamais le bout (c'est bien le contraire d'une impasse, non ?).



Merci jobhertz, j'ai puisé auprès de tes posts la force de répondre (sans espoir, malheureusement).

[invite986312212]

Comme le grand théorème de Fermat, le paradoxe de Banach-Tarski, la valeur des 100 premières décimales de pi (alors 100 millions ...) etc. Oh mon dieu, je viens de me rendre compte que les mathématiques pures et pire encore la logique ne servent à rien : ma vie est foutue.

non là Médiat tu persiffles inutilement: il faut comprendre la question de l'utilité (sert à rien) dans la question de Flenne comme "utile à l'intérieur des mathématiques", les mathématiciens diraient plutôt "fécond". Et cette question est intéressante, je suis sûr que tu peux y apporter une réponse plus sérieuse, ou au moins des éléments de réponse.

[Médiat]

non là Médiat tu persiffles inutilement: il faut comprendre la question de l'utilité (sert à rien) dans la question de Flenne comme "utile à l'intérieur des mathématiques", les mathématiciens diraient plutôt "fécond". Et cette question est intéressante, je suis sûr que tu peux y apporter une réponse plus sérieuse, ou au moins des éléments de réponse.

Evidemment je persiffle, mais je ne suis pas certain que tu aies raison pour autant, il semble que la préoccupation de flenne soit principalement l'utilité pour le physicien comme le montre ses précédentes interventions.

Mais pour te répondre, bien que je suis persuadé que tu connaisses la réponse, la conséquence immédiate du théorème d'incomplétude de Gödel est la "chute de la maison Hilbert", comme le dit JY Girard dans le petit opuscule cité par flenne (donc il connaissait la réponse avant de poser la question) ; mais on peut aussi rappeler les travaux (et il y en a pas mal) qui sont cités dans l'article passionnant de Delahaye "Presque tout est indécidable !" dont il est justement question ici ; et on peut ajouter l'épistémologie, mais il y a un autre forum pour cela.

[invite986312212]

mais par exemple, la "chute de la maison Hilbert" au-delà du choc psychologique que ça a dû être, pour Hilbert lui-même et pour d'autres (wir müssen wissen, wir werden nicht wissen..), est-ce qu'elle a été suivie par une modification de la façon de faire des mathématiques? je ne sais pas. J'ai l'impression que la "crise" qui a suivi la découverte des paradoxes de la théorie des ensembles a laissé plus de traces: par exemple Mc Lane dans son livre de sur la théorie des catégories, distingue soigneusement les "petits" ensembles, les objets qui ne sont pas des ensembles, etc. C'est sans-doute inévitable, alors que je n'ai jamais vu un livre dethéorie des nombres (par exemple) commencer par "si l'arithmétique de Peano n'est pas contradictoire...". J'ai l'impression qu'on peut se passer de ce genre de précautions (un peu gratuites il est vrai).

peut-être aussi que quand Flenne parle d'impasse, il se demande s'il y a des conjectures de la mathématique "de tous les jours" dont on soupçonnerait qu'elles sont indécidables (?) Est-ce que l'hypothèse de Riemann a des chances d'être indécidable?

[Médiat]

peut-être aussi que quand Flenne parle d'impasse, il se demande s'il y a des conjectures de la mathématique "de tous les jours" dont on soupçonnerait qu'elles sont indécidables (?)

Je n'ai pas le temps de développer maintenant, mais :

1. Même sans le théorème d'incomplétude, tant que l'on a pas une théorie complète la question de savoir si une formule est indécidable ou non se pose, Gödel dit juste que cette situation est définitive dans un certain cadre.
2. Il a été évoqué, avant Wiles, bien sur, que le GTF pourrait être indécidable, et c'est encore plausible pour la conjecture de Goldbach, par exemple.
3. Savoir qu'une formule est indécidable n'est pas une impasse, mais l'ouverture de deux routes, là où on croyait qu'il n'y en avait qu'une.

[inviteeae453a2]

Enfin, une réponse positive de Mediat, l'indécidabilité a pour lui au moins une utilité, je cite :
"C'est au contraire la certitude de n'en voir jamais le bout (c'est bien le contraire d'une impasse, non ?).", et donc l'indécidabilité permet d'assurer l'infinie survie des mathématiques infinitistes (les preux chevaliers de l'infini actuel). (Donc, surtout, ne cherchons pas de paradigme pour en sortir
PS : pour moi une voie dont on ne voit jamais le bout, dont on ne peut donc pas sortir, est pire qu'une impasse !

[invite986312212]

mmmmh, je n'avais pas saisi le problème...

PS : pour moi une voie dont on ne voit jamais le bout, dont on ne peut donc pas sortir, est pire qu'une impasse !

il n'y a que trois possibilités pour une voie: elle est infinie (on n'en voit jamais le bout), ou bien elle a un bout (une impasse) ou bien elle tourne en rond. Tu préfères tourner en rond?

[invité576543]

il n'y a que trois possibilités pour une voie:

Uniquement si tu admets le "quart exclus"

Cordialement,

[invitebe0cd90e]

et donc l'indécidabilité permet d'assurer l'infinie survie des mathématiques infinitistes (les preux chevaliers de l'infini actuel).

"Quand on a un marteau dans la tete, on voit tout sous la forme d'un clou".

Pourquoi parles tu de debat, alors que de toute evidence tu as une idée fixe et que tout ce que l'on peut dire est rearrangé avec une mauvaise foi evidente pour apporter de l'eau a ton moulin ?

Peux tu nous dire quel est le probleme exactement, que ca soit en maths, ou en physique, parce qu'a part utiliser des superlatifs et des sarcasmes et aligner des phrases creuses, pour l'instant tu brasses surtout du vent.

Mediat dit seulement que les theoremes de Gödel prouvent que les mathematiques ne peuvent pas etre purement mecanisées, on peut trouver ca dommage, ou penser que c'est une preuve de richesse, mais une chose est certaine c'est que ca n'est pas une preuve de fragilité. L'indecidabilité ne menace rien ! L'existence de ces theoremes est tout aussi naturelle que le constat qu'un appareil photo ne peut pas se prendre en photo lui meme (oui, je sais, avec un miroir, mais c'est pour l'exemple), ou qu'un tournevis ne peut pas etre utilisé pour devisser le machin en plastique au bout du manche de ce meme tournevis, etc..

Donc arrete de tourner en rond, et exprime clairement ce qui te pose probleme. A t'entendre, l'indecidabilité reduit de facto a neant toute trace de fiabilité dans les maths. Pourquoi ? Est ce que du jour au lendemain les nombres premiers risquent de ne plus etre en nombre infini ?

Tu commets l'erreur malheureuse de penser que "les mathematiques" sont par definition "ce qu'on peut tirer de tels et tels axiomes", alors que c'est le contraire. les maths ont une existence propre, intuitive, et les theories logiques sont venues apres coup pour essayer de les axiomatiser, dans le but de mieux les comprendre. Et ce que prouve Gödel, c'est justement qu'il est illusoire d'essayer de reduire les maths a un simple jeu de deduction logique. Donc les seule chose qui est menacées, ce sont les systemes logiques qui tentent d'axiomatiser les maths, mais pas les maths elles memes tu saisis la nuance ?

[Médiat]

Enfin, une réponse positive de Mediat

Quelle économie de moyen pour me redonner envie de ne pas vous répondre ou alors de persiffler.
Notez au passage que Médiat s'écrit avec un accent sur le e.

PS : pour moi une voie dont on ne voit jamais le bout, dont on ne peut donc pas sortir, est pire qu'une impasse !

Oui, mais ça c'est un problèmes psychologique et je ne suis pas compétent, consultez un psychiatre et un bon de préférence.

[Médiat]

[...]

taladris, tu sembles être le seul à t'intéresser à cette petite énigme, je donnerais les explications quand tu le demanderas.

[Médiat]

il n'y a que trois possibilités pour une voie: elle est infinie (on n'en voit jamais le bout), ou bien elle a un bout (une impasse) ou bien elle tourne en rond. Tu préfères tourner en rond?

Elle peut aussi "forker" (se diviser en deux ?) infiniment.

[invite6754323456711]

Donc les seule chose qui est menacées, ce sont les systèmes logiques qui tentent d'axiomatiser les maths,

Dure réalité moi qui pensait que l'on pourrait un jour comprendre les mathématiques.




Patrick

[inviteeae453a2]

1 - Therore, merci pour ces précisions : mais je ne suis absolument pas "inquiet", simplement étonné que tant de mathématiciens (en particulier sur ce fil) restent encore accrochés au concept d'infini dit "actuel" (dont je ne dis pas qu'il ne doit plus être l'objet d'études, chacun est libre), et se refusent de façon encore assez agressive à considérer le concept d'infini potentiel, et les approches constructivistes, en dépit des dernières démonstrations sur l'indécidabilité généralisée presque partout, que l'infini "actuel" engendre. Il serait utile de le faire, comme le fait par exemple Yvon Gauthier, déjà cité (il n'est heureusement pas le seul, mais il est l'objet de répliques assez agressives auxquelles d'ailleurs il répond très bien), pour étudier comment trouver une autre voie, complémentaire à celle qui conduit à la problématique de l'indécidabilité "presque partout" des mathématiques traditionnelles actuelles.
Voir http://www.erudit.org/revue/philoso/.../008944ar.html
2 Therodre: dire "les soucis des physiciens sont vraiment "autre" que ça...la question de l'infini n'est pas un souci (bon je laisse de côte le probleme de renormalisation où il n'est pas du tout question de "virer" l'infini de la physique, mais plutot d'arriver a faire des predictions), et les problemes sont ailleurs." est un peu rapide ; je pense que vous oubliez, entre autres, ceux qui travaillent à chercher une issue à la divergence des deux physiques, actuellement incompatibes en raison des formalismes qu'elles utilisent (voir, entre autres, les travaux de Laurent Nottale, mais un mathématicien de ce fil a peut-être une autre solution pour mettre au point un formalisme unificateur ?).
Voir aussi les travaux de Christian Magna (Collège de France) sur l'infini et http://www.lacosmo.com/Pomme78.html , ou encore les questionnement de JM Levy-Leblond, etc.
3 Parfaitement, je sais que "les maths ont une existence propre, intuitive, et les théories logiques sont venues après coup pour essayer de les axiomatiser". Mais il n'est pas interdit de croire aux progrès de la connaissance, y compris en mathématiques, et de penser qu'il est possible d'aller au-delà de l'approche intuitive des grecs anciens et des approches logiques modernes et axiomatiques "classiques" (voir 6.3).
4 Sur les conseil de Médiat, j'ai consulté un psy qui m'a confirmé que tout allait bien, merci, mais dois-je le croire ?
5 Non, bien sûr, il est faux de dire, et je n'ai jamais dit, que "l'indécidabilité reduit de facto à néant toute trace de fiabilité dans les maths". Les "maths" (y compris celles qui restent à inventer) ne se réduisent pas et ne se réduiront pas à celles qui se contentent de l'indécidabilité presque partout, heureusement, et même ces dernières produisent des résultats décidables (même si c'est "presque nulle part", selon ces maths elles-mêmes), et c'est déjà très bien.
6 Puis trois questions auxquelles je vais m'efforcer de répondre, en prenant le risque d'écrire encore des "phrases creuses".
6.1 "exprime clairement ce qui te pose problème": voir les réponses ci-dessus, c'est clair, et ce n'est pas seulement à moi que le problème se pose, voir références.
6.2 "Est ce que du jour au lendemain les nombres premiers risquent de ne plus etre en nombre infini ?" Sûrement pas, mais la question est plutôt : que signifie "en nombre infini" ? Et si les nombres premiers sont largement utilisés dans les démonstrations mathématiques (y compris par Gödel), ils reste à répondre à quelques "détails" pour affirmer qu'ils sont "connus", donc objet consistants pour des démonstrations formelles : nous savons tous qu'en se donnant un grand nombre, il peut devenir impossible de savoir s'il est premier ou non ; on connait de très grands nombres premiers, on en trouvera de nouveaux, mais il restera des intervalles de nombres entre ces premiers ou il sera impossible de donner, à une époque donnée, la liste effective des premiers qui y sont contenus ; on ne sait pas dire non plus si les nombres premiers jumeaux sont on non en nombre infini, quelle est la décidabilité de la conjecture de Riemann évoquée dans ce fil, etc.
6.3 Question "les seules choses qui sont menacées, ce sont les systèmes logiques qui tentent d'axiomatiser les maths, mais pas les maths elles mêmes; tu saisis la nuance ?".
Ce fil me semble un peu léger pour répondre à une interrogation aussi essentielle (et je ne suis pas sûr qu'il s'agisse de simple "nuance"), je renvoie donc à l'ouvrage :
La logique du contenu. Sur la logique interne, L’Harmattan, Paris, 2004, de Yvon Gauthier, mais il y a bien d'autres.
7 Je n'interviendrai plus, c'est pour certains "une bonne nouvelle".
Cette dernière proposition est indécidable, non ?

[invite7863222222222]

flenne,

j'ai une question à tes remarques, peux-tu dire pourquoi selon toi, l'infini actuel n'existerait pas dans le monde physique ?

[Médiat]

Pour ceux que cela intéresserait (je ne parle pas de flenne qui ne doit plus revenir), je viens de parcourir (un peu vite il est vrai) un document de Yvon Gauthier, il y est question du sujet débattu ici, mais dans le cadre d'une logique du second ordre dont on sait :

Il n'existe pas de système de règles d'inférence pour la logique du second ordre qui soit à la fois robuste et complet.

Personnellement, le théorème d'incomplétude pour certaines théories en logique du premier ordre me gène moins que l'absence de théorème de complétude pour la logique du second ordre.