Presque tout est indécidable !

[invité576543]

j'ai une question à tes remarques, peux-tu dire pourquoi selon toi, l'infini actuel n'existerait pas dans le monde physique ?

Pas exactement "dans le monde physique". Juste que l'infini n'est pas un concept cohérent avec la méthodologie de la science physique : il n'y a pas d'expérimentation pratique pour réfuter une assertion de la forme "telle chose est infinie".

Il y a un risque de confusion entre ce qu'on peut dire scientifiquement sur le monde physique (et cela exclut l'infini), et ce que pourrait être le monde physique.

Ou encore, tout discours sur l'infini dans le monde physique est de nature métaphysique.

Cordialement,
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[invite7863222222222]

il n'y a pas d'expérimentation pratique pour réfuter une assertion de la forme "telle chose est infinie".

Oui mais je pensais plus à une affirmation du type : "telle chose n'est pas finie".

[invité576543]

Oui mais je pensais plus à une affirmation du type : "telle chose n'est pas finie".

Quelle différence?

Cordialement,

[invite7863222222222]

Quelle différence?

Cordialement,

La différence serait qu'on pourrait proposer des expériences pour réfuter qu'une grandeur est non finie. Elles s'exprimeraient ainsi : quelque soit la précision ou les capacités des appareils de mesure, la grandeur mesurée se rapprochera de zéro ou respectivement deviendra "d'autant" de plus en grand.

[invité576543]

La différence serait qu'on pourrait proposer des expériences pour réfuter qu'une grandeur est non finie. Elles s'exprimeraient ainsi : quelque soit la précision ou les capacités des appareils de mesure, la grandeur mesurée se rapprochera de zéro ou respectivement deviendra "d'autant" de plus en grand.

Non. On ne peut pas proposer cela comme expérimentation pratique.

On peut affirmer "la grandeur sera plus grande que x", avec x compatible avec les expérimentations pratiques possibles au moment où on cherche à valider/invalider.

Avec ta formulation, la réfutation est repoussée, surprise, à l'infini du temps futur, et encore uniquement si on postule une évolution technique permettant de tester toujours plus grand (ou plus petit).

C'est pour cela que j'ajoute "pratique" après expérimentation.

(Et au passage, c'est bien la même chose que tester un infini, ou du moins "au-delà de toute valeur testable".)

Cordialement,

[invite7863222222222]

Avec ta formulation, la réfutation est repoussée, surprise, à l'infini du temps futur, et encore uniquement si on postule une évolution technique permettant de tester toujours plus grand (ou plus petit).

Oui c'est ça mais je me demande si c'est métaphysique ou juste de l'ordre de l'interprétation.

(Et au passage, c'est bien la même chose que tester un infini, ou du moins "au-delà de toute valeur testable".)

C'est vrai je me suis beaucoup emmelé les pinceaux.

[invite6754323456711]

Pour ceux que cela intéresserait

Oui tu as un pointeur ?

Merci
Patrick

[Médiat]

Oui tu as un pointeur ?

http://www.philo.umontreal.ca/dept/d...it_nouveau.pdf

Il y est question de logique avec quantificateur sur des ensembles infinis et non sur des éléments, c'est donc une forme de logique du 2^ième ordre.

[Médiat]

Ce que prouve [le théorème de ] Gödel, c'est justement qu'il est illusoire d'essayer de reduire les maths a un simple jeu de deduction logique. Donc les seule chose qui est menacées, ce sont les systemes logiques qui tentent d'axiomatiser les maths, mais pas les maths elles memes tu saisis la nuance ?

Bien sur, cette façon de dire les choses est "platonicienne" (et ce n'est pas une insulte), et, en tant que "formaliste" je ne l'aurais pas dit ainsi (mais le fond aurait été identique), mais il s'agit bien là d'une question de fond intimement liée, d'ailleurs, à l'article de Delahaye qui est à l'origine de ce post. Il serait, peut-être, intéressant de prolonger la remarque de jobhertz par un débat qui aurait sa place, soit dans "Débats scientifiques", soit, encore mieux, dans "Epistémologie", si cela tente quelqu'un...
Je ne crée pas le sujet moi-même, ayant eu l'occasion de proposer d'ouvrir un sujet connexe (message 3 de http://forums.futura-sciences.com/le...decidable.html) sans aucun écho, il ne me paraît pas utile d'ouvir un fil qui resterait vide .

[invite7863222222222]

Je ne crée pas le sujet moi-même, ayant eu l'occasion de proposer d'ouvrir un sujet connexe (message 3 de http://forums.futura-sciences.com/le...decidable.html) sans aucun écho, il ne me paraît pas utile d'ouvir un fil qui resterait vide .

Oui ce n'est pas très agréable .

[invite7863222222222]

Je viens quand même d'ouvrir une autre discussion sur ce thème, en épistémologie.

[inviteeae453a2]

Heureux de constater qu' Yvon Gauthier, que j'avais cité à plusieurs reprises, a enfin l'honneur d'être reconnu. Ce brillant constructiviste tente ici une approche arithmétique contenant sa propre logique interne, sans jamais invoquer la totalité ensembliste des nombres naturels ni l'axiome du tiers exclu, et qui évite les quantificateurs, toutes notions sources des paradoxes et de l'indécidabilité chronique des formalismes mathématiques traditionnels (à la Hilbert) et des logicismes (à la Cantor, Peano, ...).
Nota, pour clarifier si besoin suite à certaines questions de ce fil. L'indécidabilité, objet de ce débat, étant bien prise ici au sens ou ce qui en est l'objet peut être vrai ou faux, au choix du formalisateur, c'est-à-dire indépendant du système d'axiome, et de ce fait peut autoriser deux formalismes différents, comme c'est le cas, démontré par Gödel, de "l'hypothèse du continu" de Cantor. Ces deux formalimes complétés par la proposition indécidable resteront tout aussi incomplet et génèreront encore des propositions indécidables, ce qui, comme il a été dit conduit à la chute de la"M

[inviteeae453a2]

aison Hilbert" (le fil m'a échappé, le lecteur corrigera donc les perles et les cailloux de lui-même)

[Médiat]

26/03/2009, 19h44 Très bien, mais ce sera ma dernière contribution

28/03/2009, 11h36 Je n'interviendrai plus

mais vous continuez néanmoins : Ce n'est pas d'indécidabilité que vous devriez parler, mais d'indécision.

Une fois de plus je constate que votre ton est insupportable et votre intervention remplies d'erreurs montrant encore et encore que vous ne savez pas de quoi vous parlez, juste un exemple :

Ce brillant constructiviste tente ici une approche arithmétique contenant sa propre logique interne, [...]qui évite les quantificateurs

Non seulement le document que j'ai cité n'évite pas les quantificateurs, mais en utilise un troisième : page 5) f) Les quantificateurs et un troisième constitué d'un E il existe collé à droite d'un il existe : E, pour les ensembles infinis (logique du 2^ième ordre)

Je précise que je n'ai jamais jugé les travaux de Yvon Gauthier (que je n'ai que parcourus) ou qui que ce soit d'autre, je me contente de critiquer ce que vous en dîtes qui n'a pas de sens, et qui est rempli d'erreurs.

[inviteeae453a2]

Faux en ce qui concerne le ton, je ne vois pas en quoi mon "ton est insupportable"! Vous serait-il insupportable d'avoir à affronter la contradiction, dans ce cas, évitez les blogs ? Pour ma part, je vous respecte totalement et je ne doute pas un instant de votre science.
Faux en ce qui concerne ma prétendue "indécision", il s'agit, comme je l'avais annoncé, d'un exemple trivial de proposition indécidable et d'un clin d'oeil ; je me place effectivement dans le formalisme ou je considère ma proposition indécidable "de ne plus intervenir" comme fausse, et donc j'interviens. Mais il est toujours possible pour quiconque de considérer qu'elle est vraie et donc de ne pas considérer mes interventions comme existantes. C'est conforme à la large ouverture que donne l'indécidabilité à certaines mathématiques et qui a été plébiscitée par certains sur ce blog.
Faux aussi pour les quantificateurs, car il ne sont pas les quatificateurs logiques "standards" et ils sont utilisés par Y Gauthier hors du cadre infinitiste "actuel" (en fait dans un cadre "effini" du type de celui de Fermat).

[invite7863222222222]

sans jamais invoquer la totalité ensembliste des nombres

J'ai parcouru le document rapidement, et il me semble qu'au contraire en utilisant un nouveau quantificateur, l'auteur se donne le moyen d'invoquer la totalité des nombres.

Peut-être votre lecture du document est-elle "orientée" ?

[Médiat]

Faux en ce qui concerne le ton, je ne vois pas en quoi mon "ton est insupportable"!

Vous serait-il insupportable d'avoir à affronter la contradiction, dans ce cas, évitez les blogs ?

CQDF !

Faux en ce qui concerne ma prétendue "indécision", il s'agit, comme je l'avais annoncé, d'un exemple trivial de proposition indécidable et d'un clin d'oeil ; je me place effectivement dans le formalisme ou je considère ma proposition indécidable "de ne plus intervenir" comme fausse, et donc j'interviens. Mais il est toujours possible pour quiconque de considérer qu'elle est vraie et donc de ne pas considérer mes interventions comme existantes. C'est conforme à la large ouverture que donne l'indécidabilité à certaines mathématiques et qui a été plébiscitée par certains sur ce blog.

Un sophisme de plus ne vous sauvera pas du ridicule.

Faux aussi pour les quantificateurs, car il ne sont pas les quatificateurs logiques "standards" et ils sont utilisés par Y Gauthier hors du cadre infinitiste "actuel" (en fait dans un cadre "effini" du type de celui de Fermat).

Donc vous ne savez pas ce qu'est un quantificateur, à moins que ce ne soit le mot "troisième" qui vous pose problème. Sans compter que ce troisième quantificateur gère directement l'infini.

[inviteeae453a2]

Le mieux est de citer l'auteur, qu'il faut se garder de lire avec la vision orientée classique de l'ensemble infini des nombres, infini pris au sens "actuel", il faut donc changer de paradigme, ce que ne fait pas Médiat, mais on peut le comprendre ; je cite donc Y Gauthier, mais il faut étudier le texte dans sa globalité (et voir aussi sa dernière publication - La logique du contenu sur la logique interne - L'Harmattan 2004) :
" Il n’ya pas de suite infinie ou d’ensemble infini dans notre axiomatisation.
Le postulat de Fermat, comme nous pouvons l’appeler, permet non seulement l’induction « inverse »sur les prédécesseurs, mais en tant qu’algorithme euclidien généralisé, il permet aussi la réduction et la décomposition polynomiale en arithmétique générale (kroneckerienne) où l’exponentiation est aussi bornée par le degré fini des polynômes. Le fait que le quantificateur effini n’est pas borné autorise l’usage du postulat de Fermat comme principe d’induction en arithmétique. Mais ce principe d’induction n’est pas équivalent au principe d’induction complète, à l’induction transfinie ou au principe du plus
petit nombre qui eux sont tous équivalents du point de vue classique par la voie indirecte, c’est-à-dire la voie du tiers exclu ou de la double négation qui est impraticable pour l’arithméticien et le logicien constructiviste.

[Médiat]

" Il n’ya pas de suite infinie ou d’ensemble infini dans notre axiomatisation.

Dans l'arithmétique de Peano non plus ; au cas ou le schéma d'axiomes de récurrence vous poserait problème, prenez l'arithmétique de Robinson qui est suffisante pour démontrer les théorème de Gödel et sans la moindre trace d'infini dans l'axiomatisation).

Puisqu'il semble impossible de vous faire comprendre quelque chose en mathématiques, je vais faire une petite explication de texte :
1) Votre ton est insupportable, si vous en doutez vous pouvez relire votre première intervention (ainsi que les suivantes) et ma première réponse.
2) Personne sur ce fil n'a émis la moindre critique envers les mathématiques intuitionniste, le contructiviste ou finitiste, envers les logiques du 2nd ordre ou modales ou que sais-je encore mais envers vos remarques aussi suffisantes qu'insuffisantes (où sont les réponses aux nombreuses questions qui vous ont été posés ?), aussi péremptoires que fausses.
3) Il serait bon que vous compreniez que les différentes logiques (ce que vous baptisez paradigme) ne sont pas des religions et qu'un même mathématicien peut en pratiquer plusieurs sans devenir schizophrène pour autant ; le seul intolérant (je fais allusion à votre ton) c'est vous !
4) Inutile de mettre en gras que le texte d'Yvon Gauthier ne se place pas dans le cadre de la logique classique du premier ordre, c'est évident pour tout le monde dès le début de son texte.

[inviteeae453a2]

Si c'est "évident" pour vous, comme indiqué au point 4, ce l'est certainement moins pour d'autres, ouisque la question a été posée sur ce fil.
Pour faire suite à votre point 3, j'ai toujours dit et répété dans mes notes que toutes les formes de mathématiques étaient libres et légitimes, ainsi que les commentaires (en français de type blog)

[invitebe0cd90e]

Tu es bien aimable. Tu nous serines depuis le debut qu'on est des conservateurs arc bouté pour sauvegarder notre chapelle infinitiste, mais tu nous accorde le droit d'etre dans l'erreur, après tout chacun fait ce qu'il veut... C'est sympa en tout cas.

A part ca tu repetes encore et toujours que tel truc est "le seul moyen de sortir de l'indecidabilité", que certes les maths peuvent avoir des resultats fiables et decidables mais "presque nulle part", mais encore une fois sans jamais pointer clairement ce qui pose probleme... A chaque fois qu'on te demande tu fais des sarcasmes en nous expliquant qu'après tout on est libre de s'obstiner dans l'erreur.

Je n'ai pas eu non plus d'explication convaincante sur le lien entre infini actuel, indecidabilité, et physique.

Honnetement tu donnes l'impression d'etre tombé sur la phrase "presque toute les propositions sont indecidables" sans en comprendre le vai sens...

Il faut bien comprendre que si presque toutes les propositions sont indecidables, c'est tout aussi vrai que presque toutes les propositions n'ont aucun interet dire q'une proposition tirée au hasard risque fort d'etre indecidable n'est pas plus choquant que de dire qu'une suite de mots tirés au hasard risque fort de n'avoir aucun sens. Et ca ne nous empeche pas d'ecrire, et pour certain de faire de la jolie littérature.

[inviteeae453a2]

Le petit problème, c'est qu'une suite de mot tirés au hasard dans une langue a bien sûr de forte chances de n'avoir aucun sens, mais que la plupart des gens parlant cette langue le constate immédiatement. C'est exactement le contraire du fait de l'indécidabilité en mathématique, dans ce cas, on ne sait pas, ou presque jamais, si ça ne veut rien dire ! Même pour les mathématiciens.
Mais bien sûr, je comprends que "une suite de mots tirés au hasard risque fort de n'avoir aucun sens" n'était qu'une analogie dont l'intention n'était pas de démontrer, mais simplement de faire rire. C'est donc ce que j'a fait, merci.
Je suis précis, contrairement à ce qui est dit : en ce qui concerne Peano, par exemple, je cite : 'l'arithmétique de Robinson (qui) est suffisante pour démontrer les théorème de Gödel et sans la moindre trace d'infini dans l'axiomatisation)."
Or il y a cependant toujours l'axiome 2 qui donne à tout x un successeur...
Pour terminer, je pose donc un problème simple (réservé aux amateurs), en supposant l'infini "actuel" :
1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+....... = ?
Donner la solution parmi les choix suivants : 0, 1, 1/2
Et si on remplace 1 par la variable x (entier, réel, complexe, quaternion, octonion) ?
Piste (pour les amateurs) : grouper deux à deux les termes de diverses maniéres ...
Décidemment, l'indécidabilité des mathématiques infinies nous amusent beaucoup, nous les amateurs "qui ne savons pas de quoi nous parlons"...

[Médiat]

Jobhertz, je crois que quelque chose nous avait échappé, flenne ne vient ici que pour nous faire rire : qu'il en soit remercié.

Je suis précis, contrairement à ce qui est dit : en ce qui concerne Peano, par exemple, je cite : 'l'arithmétique de Robinson (qui) est suffisante pour démontrer les théorème de Gödel et sans la moindre trace d'infini dans l'axiomatisation)."
Or il y a cependant toujours l'axiome 2 qui donne à tout x un successeur...

Première blague hilarante : un axiome qui à chaque élément associe un successeur introduit l'infini dans l'axiomatisation, pas exemple le modèle ({a}, s) ou s est défini par s(a) = a, vérifie bien cet axiome, donc il est infini donc 1 est infini. Yaisse !

Au fait, les modèles de la théorie d'Yvon Gauthier sont-ils finis d'après vous ?

Je cite :

Il n’y a pas de suite infinie ou d’ensemble infini dans notre axiomatisation.

ce que je confirme, mais montrez-nous la suite infinie, ou l'ensemble infini qui, d'après vous, apparaît dans l'axiomatisation de Robinson.

Pour terminer, je pose donc un problème simple (réservé aux amateurs), en supposant l'infini "actuel" :
1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+....... = ?
Donner la solution parmi les choix suivants : 0, 1, 1/2
Et si on remplace 1 par la variable x (entier, réel, complexe, quaternion, octonion) ?
Piste (pour les amateurs) : grouper deux à deux les termes de diverses maniéres ...
Décidemment, l'indécidabilité des mathématiques infinies nous amusent beaucoup, nous les amateurs "qui ne savons pas de quoi nous parlons"...

Là par contre je suis obligé de reconnaître que la blague est bien moins bonne, j'utilisais beaucoup cet exemple pour expliquer à mes élèves de seconde qu'il faut se méfier des évidences, je crois en avoir surpris beaucoup, intéressé certains, mais malheureusement fait rire aucun, il va falloir faire mieux la prochaine fois.

[inviteeae453a2]

Tiens, les octonions sont maintenant au programme de la seconde, bravo.
Bien sûr, 1 est éventuellement infini (voir l'exemple "du niveau seconde", avec par exemple x = le symbole de Kronecker, si la suite est infinie .
La fécondité de Robinson sans infinité de successeurs, donc limitée aux cas du type "s(a) = a", ne me semble pas évidente.
Monsieur Gauthier, avec toute ma considération, je vous remercie vivement pour votre intervention. Il ne sera pas simple de faire changer les mathématiques de paradigme, comme l'histoire l'a montré à bien d'autres occasions.
Pourtant, Riemann n'a pas évincé Euclide, qui reste un cas particulier utile, comme le sont les mathématiques infinitaires, cas particulier des mathématiques constructivistes qui ne s'imposent pas certains axiomes, pas plus que Riemann ne s'imposait une parallèle, sauf cas particulier ...
Francis Lenne

[invite1ed149cb]

Bonjour Vaincent, jai vu les réponses de certains mathématiciens à ta question, qui est parfaitement justifiée. Certaines réponses sont plutôt des échappatoires pour éviter le sujet, à mon avis, en particulier celles de Médiat, un peu hautaines et méprisantes. Pour sortir de l'indécidabilité, des solutions pertinentes ont été proposées par les constructivistes, mais il faut abandonner l'axiomatique de Peano et ses dérivées, ce qui est difficile pour les mathématiciens "modernes" (mais il fut aussi difficile de renoncer à Newton pour certains physiciens, Einstein lui-même eut du mal avec la physique quantique "de Copenhague", et Cantor s'interrogea sur la pertinence des transfinis qu'il avait lui-même inventés . Des mathématiques fondées sur les principes constructivistes (depuis Fermat et Kronecker, et avec par exemple aujourd'hui les travaux d'Yvon Gauthier) devraient ouvrir la voie pour sortir, lorsque c'est nécessaire, de l'indécidabilité. Attention cependant, ceci ne veut pas dire qu'il faille rejeter les mathématiques infinitaires, pas plus que l'approche newtonienne n'est à rejeter en physique dans les cas où elle s'applique, avec les précautions nécessaires.
Les mathématiques n'ont bien sûr pas pour but de décrire le réel, mais comme elles sont utilisées par les physiciens, il est bien sûr préférable pour eux de choisir les bons outils, en particulier d'éviter ceux qui conduisent à des formules bien construites (et il ne s'agit pas de faire une analogie avec des "mots pris au hasard") qui sont "presque toujours" indécidables.
La notion d'infini, contrairement à ce qui est parfois dit, pose un problème en mathémathiques, et on doit toujours distinguer l'infini "actuel" cantorien de l'infini potentiel.

[Médiat]

Certaines réponses sont plutôt des échappatoires pour éviter le sujet, à mon avis, en particulier celles de Médiat, un peu hautaines et méprisantes.

Vous devriez relire mes interventions, à aucun moment je m'en suis pris aux travaux des constructivistes ou à Y. Gauthier, mais uniquement aux arguments de flenne qui sont faux ; pour s'en convaincre, il suffit d'essayer de trouver les réponses aux questions qui lui ont été posées, mais autant vous prévenir, cettte recherche sera vaine !
Si vous voulez "défendre" (je ne sache pas qu'ils en aient besoin, mais pourquoi pas) les constructivistes et Y. Gauthier, allez-y sans hésiter, et si possible sans tomber dans la hauteur et le mépris comme flenne (regardez sa première intervention par exemple, et vous verrez si ces travers sont miens ou siens), présentez des arguments qui donnent envie d'en savoir plus, et évitez de dire que Gödel utilise l'infini actuel dans sa démonstration (puisque c'est faux).

Pour l'instant je n'ai vu dans vos propos ni hauteur ni mépris, mais je n'ai pas vu non plus d'arguments incitatifs ; pourriez-vous, par exemple, nous dire pourquoi il serait si important de sortir de l'indécidabilité ?