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Système différentiel autonome



  1. #1
    shadow90

    Système différentiel autonome

    Bonjour,

    J'ai un problème en maths je ne vois pas trop comment commencer cet exercice. En fait on n'a jamais vraiment fait d'exercices sur les systèmes autonomes différentiels


    Mon système autonome différentiel est

    x'(t) = x^-1 + y^-1 = phi(x,y)
    y'(t) = x^-1 - y^-1 = psi(x,y)

    Et voici le sujet

    http://img214.imageshack.[...]age=dsc01151fg3.jpg

    Merci par avance

    -----


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  3. #2
    shadow90

    Re : Système différentiel autonome

    Je me suis trompé dans l'url : http://img214.imageshack.us/my.php?i...sc01151fg3.jpg

    Désolé je n'ai pas trouvé comment éditer mon message.
    J'ai essayé de rechercher des solutions sous forme constante c'est à dire x(t)=cte donc x'(t)=0 mais je trouve quelque chose de bizzare..

  4. #3
    God's Breath

    Re : Système différentiel autonome

    Si j'ai bien compris, on veut résoudre le système : .

    Si est constant, de valeur , la première équation fournit , donc est également constant, de valeur , et l'on doit avoir , ce qui est impossible.

    Si l'on a une solution pour laquelle , alors, sur tout intervalle où est dérivable, on a , soit , équation différentielle dont est solution. C'est une équation homogène, et que l'on résout en posant pour obtenir comme solution d'une équation à variables séparables.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  5. #4
    shadow90

    Re : Système différentiel autonome

    God's Breath : Merci! Oui il s'agit de résoudre ce sytème.

    En effet j'arrivais à la même conclusion que toi si je posais x ou y constant j'obtenais un sytème impossible..

    D'accord je pose g(x)=f(x)/x soit f(x)=g(x)*x donc f'(x)=g'(x)*x+g(x)
    Après calculs j'obtiens :
    g(x)/x + 1/(x*g(x)) + g'(x) + g'(x)/g(x) =0

    En supposant que x*g(x) ne s'annule pas j'obtiens :
    g^2(x)+1+x*g'(x) (g(x)+1) = 0
    Soit g^2(x)+1/(g'(x) (g(x)+1) = -x

    Me suis je trompé ? Si non comment intégrer ceci ?
    Merci !

    PS : Comment faire pour les symboles mathématiques comme tu l'as fait dans ton post ?

  6. #5
    God's Breath

    Re : Système différentiel autonome

    Tu ne t'es pas trompé, mais il faut mettre l'équation sous la forme , ce qui évite d'avoir à discuter : le seul problème serait si s'annulait, ce qui est impossible pour une solution du système proposé.
    Le truc c'est que cela s'intègre très mal, on obtient :
    ,
    avec constante arbitraire, et il est impossible de résoudre en .

    On a l'habitude de poser et d'en déduire la représentation paramétrique de la trajectoire, puisque :
    ,
    donc
    et
    avec constante non nulle.

    Si l'on pose , alors , et .

    Les solutions se mettent sous la forme
    et
    ce qui permet de reconnaître que les trajectoires sont des spirales logarithmiques, d'équation polaire .

    Mais l'expression d'une portion d'une spirale logarithmique sous la forme , ou n'est pas simple.

    J'ai l'impression que l'énoncé ne correspond pas à ce système...
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    shadow90

    Re : Système différentiel autonome

    Merci encore. Comment as tu réussi à intégrer cela (changement de variables,IPP) ?
    Oui j'ai compris ensuite tes calculs même si je n'y aurais jamais pensé...

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    J'ai l'impression que l'énoncé ne correspond pas à ce système...
    Que veux tu dire par ceci ?

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  10. #7
    Flyingsquirrel

    Re : Système différentiel autonome

    Citation Envoyé par shadow90 Voir le message
    PS : Comment faire pour les symboles mathématiques comme tu l'as fait dans ton post ?
    Tout est expliqué dans ce fil : http://forums.futura-sciences.com/fo...e-demploi.html

  11. #8
    God's Breath

    Re : Système différentiel autonome

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    ,...
    Le truc c'est que cela s'intègre très mal, on obtient :
    On intègre une fraction rationnelle : .

    Ensuite on revient à , et l'on obtient
    soit
    et finalement

    Sinon, je voulais simplement dire que l'énoncé envisageait une méthode inadaptée en cartésiennes, alors que les polaires conduisent à des calculs faciles.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  12. #9
    shadow90

    Re : Système différentiel autonome

    Flyingsquirrel : Merci je n'avais pas vu.

    God's Breath : Encore merci pour ton aide !! Par contre quand dans l'énoncé on me demande de mettre l'équation sous la forme ou , c'est loin d'être évident ..

  13. #10
    God's Breath

    Re : Système différentiel autonome

    Citation Envoyé par shadow90 Voir le message
    on me demande de mettre l'équation sous la forme ou , c'est loin d'être évident ..
    Oui, c'est pour cela que je me demandais si l'on travaillait sur le bon système...
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  14. #11
    shadow90

    Re : Système différentiel autonome

    Merci pour tout je n'aurai pas accès à Internet avant le week end prochain, donc je vais essayer d'en parler avec le prof pour voir ce qu'il en pense..

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