Système différentiel autonome

[invitecbbe8793]

Bonjour,

J'ai un problème en maths je ne vois pas trop comment commencer cet exercice. En fait on n'a jamais vraiment fait d'exercices sur les systèmes autonomes différentiels


Mon système autonome différentiel est

x'(t) = x^-1 + y^-1 = phi(x,y)
y'(t) = x^-1 - y^-1 = psi(x,y)

Et voici le sujet

http://img214.imageshack.[...]age=dsc01151fg3.jpg

Merci par avance
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[invitecbbe8793]

Je me suis trompé dans l'url : http://img214.imageshack.us/my.php?i...sc01151fg3.jpg

Désolé je n'ai pas trouvé comment éditer mon message.
J'ai essayé de rechercher des solutions sous forme constante c'est à dire x(t)=cte donc x'(t)=0 mais je trouve quelque chose de bizzare..

[invite57a1e779]

Si j'ai bien compris, on veut résoudre le système : .

Si est constant, de valeur , la première équation fournit , donc est également constant, de valeur , et l'on doit avoir , ce qui est impossible.

Si l'on a une solution pour laquelle , alors, sur tout intervalle où est dérivable, on a , soit , équation différentielle dont est solution. C'est une équation homogène, et que l'on résout en posant pour obtenir comme solution d'une équation à variables séparables.

[invitecbbe8793]

God's Breath : Merci! Oui il s'agit de résoudre ce sytème.

En effet j'arrivais à la même conclusion que toi si je posais x ou y constant j'obtenais un sytème impossible..

D'accord je pose g(x)=f(x)/x soit f(x)=g(x)*x donc f'(x)=g'(x)*x+g(x)
Après calculs j'obtiens :
g(x)/x + 1/(x*g(x)) + g'(x) + g'(x)/g(x) =0

En supposant que x*g(x) ne s'annule pas j'obtiens :
g^2(x)+1+x*g'(x) (g(x)+1) = 0
Soit g^2(x)+1/(g'(x) (g(x)+1) = -x

Me suis je trompé ? Si non comment intégrer ceci ?
Merci !

PS : Comment faire pour les symboles mathématiques comme tu l'as fait dans ton post ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Tu ne t'es pas trompé, mais il faut mettre l'équation sous la forme , ce qui évite d'avoir à discuter : le seul problème serait si s'annulait, ce qui est impossible pour une solution du système proposé.
Le truc c'est que cela s'intègre très mal, on obtient :

,

avec constante arbitraire, et il est impossible de résoudre en .

On a l'habitude de poser et d'en déduire la représentation paramétrique de la trajectoire, puisque :

,

donc

et

avec constante non nulle.

Si l'on pose , alors , et .

Les solutions se mettent sous la forme

et

ce qui permet de reconnaître que les trajectoires sont des spirales logarithmiques, d'équation polaire .

Mais l'expression d'une portion d'une spirale logarithmique sous la forme , ou n'est pas simple.

J'ai l'impression que l'énoncé ne correspond pas à ce système...

[invitecbbe8793]

Merci encore. Comment as tu réussi à intégrer cela (changement de variables,IPP) ?
Oui j'ai compris ensuite tes calculs même si je n'y aurais jamais pensé...

J'ai l'impression que l'énoncé ne correspond pas à ce système...

Que veux tu dire par ceci ?

[Flyingsquirrel]

PS : Comment faire pour les symboles mathématiques comme tu l'as fait dans ton post ?

Tout est expliqué dans ce fil : http://forums.futura-sciences.com/fo...e-demploi.html

[invite57a1e779]

,...
Le truc c'est que cela s'intègre très mal, on obtient :

On intègre une fraction rationnelle : .

Ensuite on revient à , et l'on obtient

soit

et finalement

Sinon, je voulais simplement dire que l'énoncé envisageait une méthode inadaptée en cartésiennes, alors que les polaires conduisent à des calculs faciles.

[invitecbbe8793]

Flyingsquirrel : Merci je n'avais pas vu.

God's Breath : Encore merci pour ton aide !! Par contre quand dans l'énoncé on me demande de mettre l'équation sous la forme ou , c'est loin d'être évident ..

[invite57a1e779]

on me demande de mettre l'équation sous la forme ou , c'est loin d'être évident ..

Oui, c'est pour cela que je me demandais si l'on travaillait sur le bon système...

[invitecbbe8793]

Merci pour tout je n'aurai pas accès à Internet avant le week end prochain, donc je vais essayer d'en parler avec le prof pour voir ce qu'il en pense..