fonction définie sur un ouvert

[invite92876ef2]

Bonjour,

J'aimerais comprendre pourquoi les cours de mathématique utilisent des fonction de IR^p dans IRⁿ sur des ouverts. Il me semble que c'est par soucis de continuité.

Merci bien.

Cordialement.
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[invitea41c27c1]

Parce que sinon on a pas unicité de la differentielle.

[MMu]

Bonjour,

J'aimerais comprendre pourquoi les cours de mathématique utilisent des fonction de IR^p dans IRⁿ sur des ouverts. Il me semble que c'est par soucis de continuité.

Merci bien.

Cordialement.

Il faudrait savoir quel est le contexte ? ...

[invite92876ef2]

Parce que sinon on a pas unicité de la differentielle.

J'ai du râter un épisode là...
Soit D un ouvert de IRⁿ.
Soit f une fonction de D dans IR^p.

Si a est un point intérieur de D, les fonctions

x_i -> f(a₁,...,a_i-1,x_i,a_i+1,...,a_n)

définies sur un intervalle ouvert contenant a_i sont les fonctions partielles associées à f au point a.

En ce qui concerne la différentielle, rappelons la définition :

f différentiable en a de D s'il existe une application linéaire l de L(IRⁿ,IR^p) telle que :

lim (||f(x+a)-f(a)-l(h))/||h|| = 0
h->0

Dans ce cas, l est effectivement unique. En quoi cela est-il causé par le fait que D soit ouvert ?

Merci bien !

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Soit D un ouvert de IRⁿ...

Si a est un point intérieur de D, ...

Si est ouvert, tout point de est intérieur.

Si n'est pas ouvert, on a un problème pour définir la différentielle aux points qui ne sont pas intérieurs à .

Par exemple, si est, dans , le compact limité par une astroïde, on a un problème aux points de rebroussements de l'astroïde : la définition de la différentielle permet son calcul dans la seule direction de la tangente de rebroussement.

Le choix est simple
– ou on décide de ne définir la différentielle qu'aux points intérieurs, on a unicité de la différentielle, mais on se restreint donc à un ouvert ;
– ou on décide de perdre l'unicité de la différentielle sur la frontière de .