Ensemble de résolution d'une équation fonctionnelle

[Seirios]

Bonjour à tous,

Il est souvent plus aisé de résoudre une équation fonctionnelle sur un ensemble plutôt qu'un autre, mais dans quelles mesures peut-on passer d'un ensemble à un autre ? N'y a-t-il pas des méthodes pour effectuer ce genre de transit ?

Quelqu'un pourrait-il me renseigner ?

Merci d'avance
Phys2
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[Seirios]

Je donne un exemple : je trouve à partir d'une équation fonctionnelle qu'une fonction est définie par pour tout . Je souhaiterais montrer que cette définition implique que f soit la fonction identité de dans . Je peux le montrer facilement par un raisonnement par récurrence en écrivant , puis , en supposant , et ayant déterminé que . Néanmoins, j'applique ici la définition de la fonction à , c'est-à-dire à un réel, et non à un entier naturel.
J'aimerais donc savoir s'il y avait moyen de faire un lien entre la résolution de l'équation fonctionnelle dans et dans .

[lapin savant]

Salut,

, en supposant , et ayant déterminé que

Ta démonstration suppose également que la fonction soit linéaire (voir citation). Tu aurais pu chercher de telles fonctions plus généralement (s'il en existe d'autres).

[Seirios]

Ta démonstration suppose également que la fonction soit linéaire (voir citation). Tu aurais pu chercher de telles fonctions plus généralement (s'il en existe d'autres).

Dans l'énoncé de l'équation fonctionnelle, il est justement demandé de montrer que seule la fonction identité est solution.

Ma question pourrait éventuellement se formuler ainsi : Si l'équivalence est vraie pour tout , l'est-elle également pour tout ? Parce que dans ce cas, il est possible de montrer que la fonction identité est la seule solution en résolvant l'équation fonctionnelle dans IR, puis de conclure qu'il en est de même dans IN.

[A voir en vidéo sur Futura]

[lapin savant]

Dans l'énoncé de l'équation fonctionnelle, il est justement demandé de montrer que seule la fonction identité est solution.

Ok.

Ma question pourrait éventuellement se formuler ainsi : Si l'équivalence est vraie pour tout , l'est-elle également pour tout ? Parce que dans ce cas, il est possible de montrer que la fonction identité est la seule solution en résolvant l'équation fonctionnelle dans IR, puis de conclure qu'il en est de même dans IN.

Si la relation entre A et B est vraie dans , alors en particulier elle est vraie pour les entiers positifs de , qui forment . Mais si tu "zappes" les éléments entre chaque entier, je crains que tu n'aies plus la même fonction...

Pour en revenir à ta question de départ, évite tout simplement d'introduire le réel , tu dois rester dans .

[Médiat]

Si tu considères la fonction de IR dans IR définie par f(x) = E(x) (la partie entière de x), cette fonction n'est pas l'identité, ne vérifie pas la contrainte sur IR, mais sa restriction à IN la vérifie puisque c'est l'identité sur IN.

[ericcc]

[QUOTE=Phys2;2180339]Dans l'énoncé de l'équation fonctionnelle, il est justement demandé de montrer que seule la fonction identité est solution.

[QUOTE]

Si la seule condition est celle que tu as donnée, je ne pense pas que cette affirmation soit vraie : prends f(n)=n pour tout n différent de 3, et f(3)=0

A moins que ton équation fonctionnelle initiale soit différente de celle de ton deuxième message ?

[Seirios]

Si tu considères la fonction de IR dans IR définie par f(x) = E(x) (la partie entière de x), cette fonction n'est pas l'identité, ne vérifie pas la contrainte sur IR, mais sa restriction à IN la vérifie puisque c'est l'identité sur IN.

Mais toute les solutions de IN dans IN ne devraient-elles pas être solutions de IR dans IR ?

Si la seule condition est celle que tu as donnée, je ne pense pas que cette affirmation soit vraie : prends f(n)=n pour tout n différent de 3, et f(3)=0

A moins que ton équation fonctionnelle initiale soit différente de celle de ton deuxième message ?

L'énoncé complet est :
Montrer que seule la fonction identité vérifie les hypothèses : et .

[Thorin]

il est possible de montrer que la fonction identité est la seule solution en résolvant l'équation fonctionnelle dans IR, puis de conclure qu'il en est de même dans IN.

SI tu arrives à montrer que seule la fonction identité satisfait cette équation de R dans R, alors, tu peux conclure que seule la fonction identité la satisfait de N dans N. Seulement, comme la réciproque est fausse, tu n'as aucune assurance d'arriver à démontrer que c'est vrai de R dans R.
Et en fait, au vu des contre exemples proposés, ça a même l'air plutôt faux de R dans R. A vue d'œil, il faudrait au moins imposer la continuité

[invite7863222222222]

Suppression.

[Médiat]

SI tu arrives à montrer que seule la fonction identité satisfait cette équation de R dans R, alors, tu peux conclure que seule la fonction identité la satisfait de N dans N.

Je ne suis pas d'accord avec cela, la condition sur IR est plus forte que sur IN, je ne vois pas pourquoi, a priori, on ne pourrait pas trouver une fonction vérifiant la contrainte sur IN, qui ne soit pas l'identité sur IN et dont une extension sur IR ne vérifierait pas la contrainte (ce n'est pas contradictoire avec la propriété que "seule la fonction identité satisfait cette équation de IR dans IR")

[Thorin]

Oui, jm'en suis aperçu après,mais trop tard pour éditer....