Probabilités

[Bruno0693]

Bonjour,

J'ai un gros problème avec l'exercice suivant :

Soit X une va de loi exponentielle ( de paramètre et soit Y une vad de loi de Bernoulli de paramètre p (P(Y=1) =p). On suppose que X et Y sont indépendantes et l'on pose Z =XY.

1) Calculer la fonction de répartitionde Z, pour puis pour .

2) Montrer que la va Z admet une densité que l'on calculera.

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Voici ce que j'ai fait pour la question 1 :

Premier cas : .

\

Si x < 0, alors, étant donné que la densité de X est : et que la probabilité de l'événement est nulle.

\

Si x=0, alors .

\

Finalement, avec :



\

Second cas : x > 0

\

Alors,

\

D'où, avec x >0 :










Est-ce que ça vous semble correct ?

Pour la question 2), je n'ai aucune idée. Avez-vous des pistes ?

Merci.
-----

[invitea41c27c1]

Je crois que la loi de Bernouilli dans ton exercice est plutot:

et

et non pas , ce qui rend l'exercice plus interessant pour le cas avec .

Sinon je pense que ta facon de raisonner est correcte.

[Bruno0693]

Non non, la prof a précisé dans l'énoncé que P(Y=1) = 1 -P(Y=0) = p.

Sinon, des idées pour la question 2 ?

Merci pour ta réponse.

[lapin savant]

Salut,
pour la question 2), demande-toi si la fonction de répartition calculée est dérivable sur R....

[A voir en vidéo sur Futura]

[lapin savant]

Je rajouterais bien croissante également, car la densité doit être positive (par définition).

[Bruno0693]

Merci pour ta réponse.

Voici ce que j'ai fait :

La fonction de répartition de Z s'écrit alors, pour tout :



Remarquons que cette fonction est continue : elle est continue sur et,



d'où est continue en zéro, donc sur tout R.

\

Cette fonction est, d'autre part, dérivable sur R, de dérivée :





Remarquons que est positive sur R.

\

Ainsi, Z admet une densité qui est :



Remarquons que :





En prenant la constante d'intégration égale à 1-p (ce qui est conforme à l'expression de la fonction de répartition), nous avons bien :



Est-ce que ça te semble juste ?

[invitea41c27c1]

Tu as dis toi meme que l'evenement , avec etait nulle donc on a:



et non pas . Par contre on a bien,

,

ce qui rend impossible le fait que est a densite (par rapport a la mesure de Lebesgue), car si c'etait le cas la probabilite de tout singleton est nulle.

[Bruno0693]

Tu as dis toi meme que l'evenement , avec etait nulle donc on a:



et non pas . Par contre on a bien,

,

ce qui rend impossible le fait que est a densite (par rapport a la mesure de Lebesgue), car si c'etait le cas la probabilite de tout singleton est nulle.

Pourtant, il doit bien y en avoir une puisque la prof nous demande le montrer et de la calculer...

Par contre, ce que j'ai montré c'est que :

[Romain-des-Bois]

Bonsoir,

Je crois que la loi de Bernouilli dans ton exercice est plutot:
et [/TEX].

Ce serait alors une loi de Rademacher de paramètre et plus une Bernouilli.

Pourtant, il doit bien y en avoir une puisque la prof nous demande le montrer et de la calculer...

En fait, cette loi de probabilité n'est ni discrète ni continue. C'est un mélange des deux. Tu peux écrire cette loi comme somme d'une loi discrète et d'une loi à densité.
Tu as (je reprends les résultats du dessus) :
pour

si
donc la loi de s'écrit :


Note que tes résultats semblent corrects puisque

Romain

PS : désigne la mesure de Dirac qui charge le réel

[lapin savant]

Pourtant, il doit bien y en avoir une puisque la prof nous demande le montrer et de la calculer...

Par contre, ce que j'ai montré c'est que :

Oui je suis de ton avis : la fonction de répartition en un point (ici 0) ne traduit absolument pas une probabilité ponctuelle, plutôt une probabilité sur un borélien (pas forcément nulle).

Pour Garnet : ne pas confondre la probabilité de l'ensemble vide (nulle, je suis d'accord) avec la probabilité du singleton {0} (non nulle car Y est discrète...).

De plus, on a la continuité en 0 donc tout va bien

[Romain-des-Bois]

Oui je suis de ton avis : la fonction de répartition en un point (ici 0) ne traduit absolument pas une probabilité ponctuelle, plutôt une probabilité sur un borélien (pas forcément nulle).

Pour Garnet : ne pas confondre la probabilité de l'ensemble vide (nulle, je suis d'accord) avec la probabilité du singleton {0} (non nulle car Y est discrète...).

Je ne suis pas sûr de comprendre, mais je crois bien qu'il s'agit d'arguments en faveur de l'existence d'une densité pour la loi de .
Il est possible de démontrer par l'absurde que n'admet pas de densité :
Supposons que admet une densité sur alors par définition :

où est un borélien (de )
alors en particulier pour on a :

or
d'où la contradiction...

Romain

[lapin savant]

Je ne suis pas sûr de comprendre, mais je crois bien qu'il s'agit d'arguments en faveur de l'existence d'une densité pour la loi de .
Il est possible de démontrer par l'absurde que n'admet pas de densité :
Supposons que admet une densité sur alors par définition :

où est un borélien (de )
alors en particulier pour on a :

or
d'où la contradiction...

Romain

Effectivement je me suis un peu emballé....on peut toutefois dériver une densité de Z sur R+* (c'est 0 qui pose problème, Z possède une partie continue, qui est X).