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Primitive de 1/sin(x)



  1. #1
    v_711

    Primitive de 1/sin(x)


    ------

    salut salut !
    je suis bloqué sur un problème.
    il me faut intégrer : y = 1 / sin(x)

    l'intégration par parties ne mène à rien, et le changement de variable semble inadéquat...

    comment puis je trouver une primitive de y ?

    -----

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  3. #2
    Coincoin

    Re : primitive de 1/sin(x)

    Salut,
    Si ça peut t'aider à trouver le changement de variable approprié, ma calculette me dit que la primitive que tu cherches est x->ln(tan(x/2))...
    Encore une victoire de Canard !

  4. #3
    µµtt

    Re : primitive de 1/sin(x)

    Salut,


    Si tu n'as pas de calculette :

    1/sinx = sinx/sinx² = sin/1-cosx² = 1/2 (sinx/(1-cosx) + sinx/(1+cosx))

    après c'est du u'/u

  5. #4
    C.B.

    Re : primitive de 1/sin(x)

    Citation Envoyé par Coincoin
    Salut,
    Si ça peut t'aider à trouver le changement de variable approprié, ma calculette me dit que la primitive que tu cherches est x->ln(tan(x/2))...
    Elle a oublié les valeurs absolues ta calculatrice
    La fonction x->ln|tan(x/2)| est une primitive avec un plus grand dommaine de définition.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Bleyblue

    Re : primitive de 1/sin(x)

    Salut,

    Moi je procède comme ça :





    posons t = cos(x)









    Je peux développer certaines étapes si problèmes

  8. #6
    martini_bird

    Re : primitive de 1/sin(x)

    Salut,

    la super-astuce avec des intégrales de ce genre consiste à poser x=2y:



    Une astuce classique.

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  10. #7
    Bleyblue

    Re : primitive de 1/sin(x)

    C'est pas bête ... j'ai jamais pensé ... mais chez moi, c'est plus long, donc plus amusant

  11. #8
    singleton

    Re : primitive de 1/sin(x)

    Citation Envoyé par µµtt Voir le message
    Salut,

    Si tu n'as pas de calculette :

    1/sinx = sinx/sinx² = sin/1-cosx² = 1/2 (sinx/(1-cosx) + sinx/(1+cosx))

    après c'est du u'/u
    C'est FAUX !!!
    T'as pas le droit d'écrire sin/1-cos²x = 1/2 [(sinx/(1-cosx) + sinx/(1+cosx))

    De toute façon, la primitive que l'on trouve avec cette méthode est 1/2 ln(sin²x) ce qui n'est pas la primitive de 1/sinx.

    Utilise plutôt un changement de variable :
    u = cos x ou u=tan(x/2)

    et tu doit trouver -1/2 ln(abs[(1+cosx)/(1-cosx)]) ou encore ln[tan(x/2)]

  12. #9
    God's Breath

    Re : primitive de 1/sin(x)

    Citation Envoyé par singleton Voir le message
    C'est FAUX !!!
    T'as pas le droit d'écrire sin/1-cos²x = 1/2 [(sinx/(1-cosx) + sinx/(1+cosx))
    Je ne vois pas en quoi c'est FAUX. Cette relation est parfaitement exacte, et l'on a entièrement le droit de l'écrire. Il suffit de rendre le second membre au même dénominateur pour s'en apercevoir

    Citation Envoyé par singleton Voir le message
    De toute façon, la primitive que l'on trouve avec cette méthode est 1/2 ln(sin²x) ce qui n'est pas la primitive de 1/sinx.
    La primitive obtenue par cette méthode est, si l'on calcule correctement ... : , et il n'y a pas besoin de valeurs absolues puisque les arguments des logarithmes sont positifs.

    On peut bien évidemment exprimer en fonction de et en fonction de pour obtenir la forme plus usuelle
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  13. #10
    MiMoiMolette

    Re : primitive de 1/sin(x)

    Citation Envoyé par martini_bird Voir le message
    Salut,

    la super-astuce avec des intégrales de ce genre consiste à poser x=2y:



    Une astuce classique.
    Celle-là est très jolie !
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  14. #11
    Detchko

    Re : primitive de 1/sin(x)

    Bon je sais que le sujet date un peu, mais je le trouve intéressant et j'aimerais bien donner mon avis.
    Tout d'abord je trouve l'astuce du x=2y et multiplier par cos(y) géniale, c'est rapide, clair et tout. Faut quand même y penser. Pour ce qui est de la méthode de bleyblue y a une étape que je saisis pas ! Mais bon pas grave.
    J'ai une autre méthode qui a été plus ou moins proposée. En fait je me suis rappelé de mes formules de trigo (bah oui mon prof de sup m'a tellement embêté avec que maintenant je les connais !) : en posant t=tan(x/2) on a sin(x)=(2t)/(1+t^2)
    pour ce qui est du dx on a donc dt/dx=(tan(x/2))'=(1+tan(x/2)^2)/2
    Donc dt=((1+t^2)/2)dx
    Celà donne int((1/sin(x))dx)=int(((2(1+t^2))/(2t(1+t^2)))dt)=int((1/t)dt)=ln(|t|)=ln(|tan(x/2)|)
    Oualà !

  15. #12
    krikor

    Re : Primitive de 1/sin(x)

    bonjour!

    je note tg(x/2)=t; dx=2dt/(1+t²) et sinx=2t/(1+t²)

    ∫dx/sinx=∫dt/t=lnt+c

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  17. #13
    Pat255

    Re : Primitive de 1/sin(x)

    Petite erreur de signe à l'étape suivante de la démo de Bleyblue :


    ensuite cela paraîtra plus évident présenté comme ça :
    Nom : Equation.jpg
Affichages : 6870
Taille : 6,5 Ko

    primitive assez connue dans les formulaires :


    Soit l'expression simple mentionnée précédemment :
    Dernière modification par Pat255 ; 03/02/2014 à 21h31.

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