Primitive de 1/sin(x)

[invite240ac937]

salut salut !
je suis bloqué sur un problème.
il me faut intégrer : y = 1 / sin(x)

l'intégration par parties ne mène à rien, et le changement de variable semble inadéquat...

comment puis je trouver une primitive de y ?
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[invite88ef51f0]

Salut,
Si ça peut t'aider à trouver le changement de variable approprié, ma calculette me dit que la primitive que tu cherches est x->ln(tan(x/2))...

[inviteca3a9be7]

Salut,


Si tu n'as pas de calculette :

1/sinx = sinx/sinx² = sin/1-cosx² = 1/2 (sinx/(1-cosx) + sinx/(1+cosx))

après c'est du u'/u

[invitee65b1c3d]

Salut,
Si ça peut t'aider à trouver le changement de variable approprié, ma calculette me dit que la primitive que tu cherches est x->ln(tan(x/2))...

Elle a oublié les valeurs absolues ta calculatrice
La fonction x->ln|tan(x/2)| est une primitive avec un plus grand dommaine de définition.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Salut,

Moi je procède comme ça :





posons t = cos(x)









Je peux développer certaines étapes si problèmes

[invite4793db90]

Salut,

la super-astuce avec des intégrales de ce genre consiste à poser x=2y:



Une astuce classique.

[Bleyblue]

C'est pas bête ... j'ai jamais pensé ... mais chez moi, c'est plus long, donc plus amusant

[invitee6758cad]

Salut,

Si tu n'as pas de calculette :

1/sinx = sinx/sinx² = sin/1-cosx² = 1/2 (sinx/(1-cosx) + sinx/(1+cosx))

après c'est du u'/u

C'est FAUX !!!
T'as pas le droit d'écrire sin/1-cos²x = 1/2 [(sinx/(1-cosx) + sinx/(1+cosx))

De toute façon, la primitive que l'on trouve avec cette méthode est 1/2 ln(sin²x) ce qui n'est pas la primitive de 1/sinx.

Utilise plutôt un changement de variable :
u = cos x ou u=tan(x/2)

et tu doit trouver -1/2 ln(abs[(1+cosx)/(1-cosx)]) ou encore ln[tan(x/2)]

[invite57a1e779]

C'est FAUX !!!
T'as pas le droit d'écrire sin/1-cos²x = 1/2 [(sinx/(1-cosx) + sinx/(1+cosx))

Je ne vois pas en quoi c'est FAUX. Cette relation est parfaitement exacte, et l'on a entièrement le droit de l'écrire. Il suffit de rendre le second membre au même dénominateur pour s'en apercevoir

De toute façon, la primitive que l'on trouve avec cette méthode est 1/2 ln(sin²x) ce qui n'est pas la primitive de 1/sinx.

La primitive obtenue par cette méthode est, si l'on calcule correctement ... : , et il n'y a pas besoin de valeurs absolues puisque les arguments des logarithmes sont positifs.

On peut bien évidemment exprimer en fonction de et en fonction de pour obtenir la forme plus usuelle

[invite1237a629]

Salut,

la super-astuce avec des intégrales de ce genre consiste à poser x=2y:



Une astuce classique.

Celle-là est très jolie !

[invite5946359c]

Bon je sais que le sujet date un peu, mais je le trouve intéressant et j'aimerais bien donner mon avis.
Tout d'abord je trouve l'astuce du x=2y et multiplier par cos(y) géniale, c'est rapide, clair et tout. Faut quand même y penser. Pour ce qui est de la méthode de bleyblue y a une étape que je saisis pas ! Mais bon pas grave.
J'ai une autre méthode qui a été plus ou moins proposée. En fait je me suis rappelé de mes formules de trigo (bah oui mon prof de sup m'a tellement embêté avec que maintenant je les connais !) : en posant t=tan(x/2) on a sin(x)=(2t)/(1+t^2)
pour ce qui est du dx on a donc dt/dx=(tan(x/2))'=(1+tan(x/2)^2)/2
Donc dt=((1+t^2)/2)dx
Celà donne int((1/sin(x))dx)=int(((2(1+t^2))/(2t(1+t^2)))dt)=int((1/t)dt)=ln(|t|)=ln(|tan(x/2)|)
Oualà !

[invite7c37b5cb]

bonjour!

je note tg(x/2)=t; dx=2dt/(1+t²) et sinx=2t/(1+t²)

∫dx/sinx=∫dt/t=lnt+c

[invite74428889]

Petite erreur de signe à l'étape suivante de la démo de Bleyblue :


ensuite cela paraîtra plus évident présenté comme ça :


primitive assez connue dans les formulaires :


Soit l'expression simple mentionnée précédemment :