primitive de sin²x

[adrislas]

Bonjour,

j'ai voulu faire ce truc pour m'amuser, et j'ai essayé deux manières différentes, tout en vérifiant à la calculatrice. Au début ça va, mais à la fin, dans les deux méthodes, ma calto me dit que j'ai fais une bourde... Si vous pouviez me dire où svp :

alors : f(x) = sin²x

1ère méthode : à l'arrache : on met au degré supérieur : sin ³x et on divise par un tiers, puis on divise pas cos (x) pour éliminer sin' (x) : on trouve une primitive F (x) = 1/3*sin³ (x)*cos (x)= 1/3*tan(x)*sin²x

jusque là, ma calto confirme. Mais quand je dérive cette primitive pour retrouver sin²x, ça se gâte :

F'(x) = 1/3 ( ( 1/ cos² (x) ) * sin²(x) + tan (x)*2sin(x)cos(x))
F'(x) = 1/3 ( tan²(x)+tan (x)*sin (2x) )
F'(x) = 1/3 ( tan (x) ( tan (x) + sin ( 2x ) )

voilà, alors non seulement je n'arrive pas à retrouver sin²x, mais ma calto n'est plus d'accord !

Je passe maintenant à ma deuxième méthode :

cos²x + sin²x = 1
cos ( 2x ) = cos²x - sin²x = 1 - 2sin² (x)
on a donc : f(x) = sin²x = ( - cos (2x) + 1 )/2

jusqu'ici, ma calculatrice est d'accord. Vient alors le moment d'intégrer, vu qu'on a linéarisé sin²x, et là, ça se gâte :

F(x) = (-sin(2x))/4 + (x/2) = ( -sin (2x) + 2x )/4

et calto pas d'accord


voilà, merci à ceux qui ont la patience de lire et de m'aider d'avance
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[martini_bird]

Salut,

Bonjour,

j'ai voulu faire ce truc pour m'amuser, et j'ai essayé deux manières différentes, tout en vérifiant à la calculatrice. Au début ça va, mais à la fin, dans les deux méthodes, ma calto me dit que j'ai fais une bourde... Si vous pouviez me dire où svp :

alors : f(x) = sin²x

1ère méthode : à l'arrache : on met au degré supérieur : sin ³x et on divise par un tiers, puis on divise pas cos (x) pour éliminer sin' (x) : on trouve une primitive F (x) = 1/3*sin³ (x)*cos (x)= 1/3*tan(x)*sin²x

1ère méthode à proscrire!

Explication de l'erreur: diviser par un tiers, ça c'est ok (c'est un scalaire). Mais pas par cos(x)! (qui est une fonction)

Je passe maintenant à ma deuxième méthode :

cos²x + sin²x = 1
cos ( 2x ) = cos²x - sin²x = 1 - 2sin² (x)
on a donc : f(x) = sin²x = ( - cos (2x) + 1 )/2

jusqu'ici, ma calculatrice est d'accord. Vient alors le moment d'intégrer, vu qu'on a linéarisé sin²x, et là, ça se gâte :

F(x) = (-sin(2x))/4 + (x/2) = ( -sin (2x) + 2x )/4

et calto pas d'accord

La deuxième méthode est la bonne. Et le résultat est juste.
Un petit coup de chiffon sur les lunettes ou sur l'écran de la calculatrice peut-être?

Cordialement.

[adrislas]

pourtant ça marchait jusqu'à un moment ma méthode impie... bon c'était bourré d'asymptotes, comme une tangente, mais ça correspondait parfaitement ( quand la dérivée était négative, sin²x décroissait et inversement )

[adrislas]

effectivement, j'avais juste mal tapé une parenthèse pour la deuxième sur ma calto. Bon par contre, pour la première, ça m'étonne qu'on puisse pas diviser par une fonction.. La fonction tangente, c'est pourtant bien un quotient de fonctions. Enfin bref, je sais que tu as raison, mais j'aimerai bien comprendre

[A voir en vidéo sur Futura]

[martini_bird]

Je ne dis pas que l'on ne peut pas diviser, mais uniquement sous le signe .

En d'autres termes, tu ne peux pas diviser par f ' devant le signe .

C'est plus clair?

[adrislas]

non en fait, la méthode 1 n'a jamais marché, je dis des bêtises, je viens de vérifier

[adrislas]

bah ouais, je vois bien, ( même si ce n'était pas explicitement une intégrale, c'est pareil ), mais je me demandais pourquoi c'est pas possible, où est le "bug" ?


[ merci de ta patience ô martini_bird ]

[g_h]

Quand tu divises par cos(x), tu n'élimines pas sin'(x), vu qu'en dérivant, tu vas te retrouver avec un -sin(x)/cos²(x) (dérivée de 1/cos(x) )