Applications lineaires/ Endomorphismes.

[invite43fd7e20]

Bonsoir !
J'ai un exercice pas dur mais une question m'embête, voila :
Soit E un R-ev, L(E) l'algèbre des endomorphismes de E, on note I l'application identique de E dans E.

On a:
(a,c)€R² avec a différent de 0
P l'application de L(E) dans L(E) tq : P(f) = f²+af+cI

Montrer que si le trinôme (T) : x²+ax+c admet une racine réelle alors il existe au moins un endomorphisme f € L(E) tel que P(f)=0

Je suis stupidement coincé a la factorisation du trinôme (T), on sait qu'il existe x1 et x2 tels que (T) : (x-x1)(x-x2)=0,
je sais aussi que P(f) admet une racine => P(f)=(f-aI)o(f-bI) = f²-(a+b)f+ab.I

Je ne vois pas comment passer de l'un a l'autre..
Avez vous des idées ?
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[invite43fd7e20]

Bonsoir !
on sait qu'il existe x1 et x2 tels que (T) : (x-x1)(x-x2)=0

C'est plutôt pour tout x on a (x-x1)(x-x2)=x²+ax+c

Vous ne pourriez pas me dire comment mettre en relation x et f sachant que : somme--->somme et produit-->composée (avec 1=Id) ?

[invitea41c27c1]

je sais aussi que P(f) admet une racine => P(f)=(f-aI)o(f-bI) = f²-(a+b)f+ab.I

Prends f = aI.