Calcul de somme

[invite8924809f]

Bonsoir, j'aurais besoin d'un petit peu d'aide sur un exercice. J'ai développé en série de Fourier la fonction f(x)=exp(x) sur [-Pi,Pi]
J'obtient S(x)=(exp(Pi)-exp(-Pi))/2Pi * somme de -inf à +inf de ((-1)^n(1+in)exp(inx))/(1+n^2)
Il faut que j'en déduise la somme de 0 à +inf de 1/(1+n^2)
En utilisant Dirichlet en Pi, j'ai (après calcul), somme de -inf à +inf de (1+in)/(1+n^2) = exp(-Pi)/Pi
Je ne sais pas si il y a une erreur ou pas, mais avec ça je n'arrive pas à en déduire la somme demandée.
Si quelqu'un a une idée?!
Merci d'avance de votre aide, bonne soirée!
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[inviteccb29071]

en prenant la partie reelle de ta somme tu as le resultat, non ?

[invite8924809f]

Je ne crois pas. en fait je pense que la somme de -inf à +inf c'est 2 fois celle de 1 à +inf + le terme en 0. Car je n'avais pas vu mais les termes en in/(1+n^2) s'annulent 2 à 2 et il reste que le terme en 0 qui est nul. Donc je trouverais que la somme demandée c'est (exp(-Pi)-Pi)/2Pi
Ca me parait bizarre mais je ne sais pas! Merci de ton aide en tout cas!