DNS PCSI maths apllications linéaire, compositon et espaces vectoriels

[invitea6d600bb]

Bonjour j'ai un DNS de maths à faire et je suis sur l'une des questions depuis plus d'une heure dont voici l'intitulé :
on considère trois endomorphismes p,q et r d'un K-espace vectoriel E. On suppose que poq=r, qor=p et rop=q;
Démontrer que Im(p)=Im(q)=Im(r);
je pense que ce n'est pas compliqué mais je n'y arrive pas!! je pensais démontrer les inclusions suivantes:
Im(r) C Im(p), Im(p) C Im(q) et Im(q) C Im(r) en partant des définitions mais ma démarche n'aboutit pas...pouvez-vous m'aider? merci!!
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[invite6de5f0ac]

Bonsoir,

Ça ne semble pourtant pas trop compliqué ; si r = p o q alors
Im(r) = r(E) = p(q(E)) C p(E) = Im(p)
et ainsi de suite...

-- françois

[invitea6d600bb]

oooo..en fait c'était tout bidon^^ merci beaucoup!!

[invitea6d600bb]

j'ai une autre question: comment démontrer que ker(q) et im(q) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de E? ;
il y a une propritété qui dit que si q est endormorphisme tel que qoq=q alor ker(q) et im(q) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de E; dois-je partir de cette propriété et montrer que qoq=q ou de la défintion des sous-espaces vectoriels supplémentaires et montrer que ker(q)+im(q)=E et Ker(q) inter im(q) = vecteur nul; j'ai du mal avec les morphismes...merci d'avance.

[A voir en vidéo sur Futura]