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Petit problème dans K(X)



  1. #1
    GogetaSS5

    Petit problème dans K(X)


    ------

    Bonjour

    On se place dans un corps K, et on considère K(X) le corps des fractions de K[X].

    Soit tel que

    Montrer que R(X)=0 ou R(X)=1.

    J'ai réussi à le montrer dans le cas oû R est un polynôme, mais je n'arrive pas à l'étendre au corps des fractions...

    Merci pour votre aide.

    -----

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  3. #2
    GogetaSS5

    Re : Petit problème dans K(X)

    Je crois avoir trouver hier soir dans mon lit, mais j'aimerais juste votre confirmation :

    Soit R une fonction rationelle tel que R(X+Y)=R(X)R(Y)

    On a avec PGCD(P,Q)=1

    Comme R(0)=R(-X)R(X), on a nécessairement deg P = deg Q.

    De plus R(2X)=R(X)^2

    donc P(2X)Q(X)^2=Q(2X)P(X)^2

    Alors d'après Gauss Q(X)^2 divise Q(2X), et donc


    donc

    donc deg Q=deg P=0

    Donc R est un polynome constant, et donc seul R=0 ou R=1 marche.

    Merci.

  4. #3
    invite986312212
    Invité

    Re : Petit problème dans K(X)

    c'est quoi Y ?

  5. #4
    GogetaSS5

    Re : Petit problème dans K(X)

    Bah en faite c'est une seconde variable, enfin c'est comme quand tu écris exp(x+y)=exp(x)exp(y)

  6. #5
    Garnet

    Re : Petit problème dans K(X)

    Cela m'a l'air juste.
    Il faut supposer le corps de caracteristique differente de 2 sinon
    deg P(2X) <> deg P(X)

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    leon1789

    Re : Petit problème dans K(X)

    Citation Envoyé par GogetaSS5 Voir le message
    Bah en faite c'est une seconde variable, enfin c'est comme quand tu écris exp(x+y)=exp(x)exp(y)
    Donc tout ça se passe dans K(X,Y)

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  10. #7
    leon1789

    Re : Petit problème dans K(X)

    Citation Envoyé par GogetaSS5 Voir le message
    Comme R(0)=R(-X)R(X), on a nécessairement deg P = deg Q.
    L'évaluation en 0 d'une fraction rationnelle n'est pas toujours possible. (Mais c'est ok par propriété de R.) Est-ce vraiment utile ?

  11. #8
    invite986312212
    Invité

    Re : Petit problème dans K(X)

    Citation Envoyé par leon1789 Voir le message
    Donc tout ça se passe dans K(X,Y)
    ben oui, c'est là que je voulais en venir. Une formulation du problème pourrait être: On se donne une fraction R de K(X) et on construit deux fractions de K(X,Y), S(X,Y)=R(X+Y) et T(X,Y)=R(X)R(Y) qu'on suppose égales. Montrer qu'alors R=0 ou 1

    autre formulation: X et Y sont des éléments de K (en général on utilise des minuscules) et il faut comprendre que: pour tous X,Y dans K, R(X+Y)=R(X)R(Y) (égalité de deux éléments de K), à conditions que ces éléments de K soient définis.

  12. #9
    ericcc

    Re : Petit problème dans K(X)

    Ne peut on dériver l'expression par rapport à X et par rapport à Y ?

    R'(X+Y)=R'(X)R(Y) (dérivation par rapport à X) = R(X)R'(Y) (dérivation par rapport à Y)

    On sépare les variables et on voit que le rapport R'/R est constant, d'où la conclusion

  13. #10
    GogetaSS5

    Re : Petit problème dans K(X)

    Si jamais le corps est de caractéristiques 2, on peut faire le raisonnement avec 3 et on aura :

    R(X)=R(X)^3
    donc R(X)^2=1 ou 0 donc on conclut facilement


    Par contre à la question 2 on me dit :

    Soit f un morphisme de groupe de (K,+) dans (K*,.) tel que il existe R dans K(X) tel que tout x dans K on ait f(x)=R(x).

    Montrer que f est le morphisme trivial.

    Cela semble tout a fait évident vu ce qui precede mais on me conseille de distinguer le cas ou K est finis, et le cas ou K est infinis, et je ne vois absolument pas pourquoi il faudrait distinguer les cas...

  14. #11
    Garnet

    Re : Petit problème dans K(X)

    Parce que il y a une difference entre fraction rationnelle et fonction rationnelle quand le corps est fini...

  15. #12
    GogetaSS5

    Re : Petit problème dans K(X)

    Oui je viens de comprendre pourquoi avec un exemple :

    Si on considère le polynômes avec p premier, il annule tout élément du corps , pourtant ce n'est pas le polynôme nul.

    Après je ne vois pas encore pourquoi ce serais nécessairement la même chose quand le corps est infini...

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  17. #13
    Garnet

    Re : Petit problème dans K(X)

    Parce qu'en corps infini il y a injection des fractions rationnelles vers les fonctions.

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