Bonjour
On se place dans un corps K, et on considère K(X) le corps des fractions de K[X].
Soittel que
Montrer que R(X)=0 ou R(X)=1.
J'ai réussi à le montrer dans le cas oû R est un polynôme, mais je n'arrive pas à l'étendre au corps des fractions...
Merci pour votre aide.
Je crois avoir trouver hier soir dans mon lit, mais j'aimerais juste votre confirmation :
Soit R une fonction rationelle tel que R(X+Y)=R(X)R(Y)
On a
Comme R(0)=R(-X)R(X), on a nécessairement deg P = deg Q.
De plus R(2X)=R(X)^2
donc P(2X)Q(X)^2=Q(2X)P(X)^2
Alors d'après Gauss Q(X)^2 divise Q(2X), et donc
donc
donc deg Q=deg P=0
Donc R est un polynome constant, et donc seul R=0 ou R=1 marche.
Merci.
c'est quoi Y ?
Bah en faite c'est une seconde variable, enfin c'est comme quand tu écris exp(x+y)=exp(x)exp(y)
Cela m'a l'air juste.
Il faut supposer le corps de caracteristique differente de 2 sinon
deg P(2X) <> deg P(X)
Donc tout ça se passe dans K(X,Y)Envoyé par GogetaSS5
L'évaluation en 0 d'une fraction rationnelle n'est pas toujours possible. (Mais c'est ok par propriété de R.) Est-ce vraiment utile ?
ben oui, c'est là que je voulais en venir. Une formulation du problème pourrait être: On se donne une fraction R de K(X) et on construit deux fractions de K(X,Y), S(X,Y)=R(X+Y) et T(X,Y)=R(X)R(Y) qu'on suppose égales. Montrer qu'alors R=0 ou 1Donc tout ça se passe dans K(X,Y)
autre formulation: X et Y sont des éléments de K (en général on utilise des minuscules) et il faut comprendre que: pour tous X,Y dans K, R(X+Y)=R(X)R(Y) (égalité de deux éléments de K), à conditions que ces éléments de K soient définis.
Ne peut on dériver l'expression par rapport à X et par rapport à Y ?
R'(X+Y)=R'(X)R(Y) (dérivation par rapport à X) = R(X)R'(Y) (dérivation par rapport à Y)
On sépare les variables et on voit que le rapport R'/R est constant, d'où la conclusion
Si jamais le corps est de caractéristiques 2, on peut faire le raisonnement avec 3 et on aura :
R(X)=R(X)^3
donc R(X)^2=1 ou 0 donc on conclut facilement
Par contre à la question 2 on me dit :
Soit f un morphisme de groupe de (K,+) dans (K*,.) tel que il existe R dans K(X) tel que tout x dans K on ait f(x)=R(x).
Montrer que f est le morphisme trivial.
Cela semble tout a fait évident vu ce qui precede mais on me conseille de distinguer le cas ou K est finis, et le cas ou K est infinis, et je ne vois absolument pas pourquoi il faudrait distinguer les cas...
Parce que il y a une difference entre fraction rationnelle et fonction rationnelle quand le corps est fini...
Oui je viens de comprendre pourquoi avec un exemple :
Si on considère le polynômes
Après je ne vois pas encore pourquoi ce serais nécessairement la même chose quand le corps est infini...
Parce qu'en corps infini il y a injection des fractions rationnelles vers les fonctions.
