Démonstration matrice

[invite5c98d667]

Bonsoir,
J'ai du mal à résoudre cet exercice pourriez-vous m'aider?

Soient A et B des matrices n x n. Montrer que si A et B n'est pas inversible, alors la matrice AB ne l'est pas non plus (raisonner par conséquence)

Merci d'avance
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[invite57a1e779]

Si , alors

[invite5c98d667]

Voici comment j’ai rédigé la démonstration. Pouvez-vous me dire si c’est correct ?
Propriété à démontrer : Montrer que si A ou B n’est pas inversible, alors la matrice AB ne l’est pas non plus.
Démonstration par contraposée : Montrons que si AB est inversible alors A et B sont inversibles.
AB inversible donc il existe C tel que (AB)C= Id or si (AB)C=Id alors A(BC)= Id donc BC=A^(-1) donc C=B^(-1)A^(-1) donc B^(-1) et A^(-1) existent. Donc, par contraposée, si A ou B n’est pas inversible, alors la matrice AB ne l’est pas non plus.

[invite945d3fbd]

Je préfère cette preuve : Si et ne sont pas inversibles et sont des matrices carrées, alors et .
Comme , on a donc . La matrice n'est donc pas inversible.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5c98d667]

je vois, mais dans le cours on a pas encore étudié comment calculer le dét d'une matrice de rang n, c'est pour ça qu'il faut effectuer la démonstration par contraposée.

[invite57a1e779]

BC=A^(-1) donc C=B^(-1)A^(-1) donc B^(-1) et A^(-1) existent.

C'est curieux : on utilise avant d'avoir prouvé son existence !!!