DM maths dérivée

[titeauroredu41]

bonjour,
j'ai pour les vacances a faire un DM, mais malheureusement après des heures et des heures de réflexion j'ai toujours pas trouver. donc si quelqu'un pouvait m'aider ca serait vraiment sympa.

Le sujet est: pour réaliser une boite de conserve de mais d'un volume de 450mL, les industriels doivent optimiser les dimensions de celle-ci afin de réduire le cout de la tole a utilisée. Déterminer les dimensions qui minimisent la quantité de métal utilisé.

Notre boite est un cylindre fermé donc l'aire totale est celle de deux cercles et d'un rectangle: donc Aire totale= 2*R2+h*2*R
avec h: la hauteur de la boite et R: le rayon du cercle.

le volume du cylindre= *R2*R donc h=(*R2)/V

Donc on remplace h par la formule du dessus dans la formule de l'aire donc Aire totale= 2*R2+((*R2)/V)*2*R

Mais maintenant je suis bloquée, je ne sais plus ce qu'il faut faire, je sais qu'il y a un moment opu il faut dériver puis étudier les variations mais je crois qu'il y a quelque chose qui m'a échapé!

Merci de m'aider au plus vite!
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[lapin savant]

Salut,

Notre boite est un cylindre fermé donc l'aire totale est celle de deux cercles et d'un rectangle

dans le plan seulement, et encore...

ok ?

Le volume est lui :


ensuite tu fais comme tu as continué (remplacer h par une expression en V).
Ensuite, comme V est fixé, tu as :
,
en annulant la dérivée tu obtiens le R qui minimise A.

Tu n'as plus qu'à en déduire h.

[titeauroredu41]

ok mais je comprends pas le "en annulant la dérivée tu obtiens le R qui minimise A."

[lapin savant]

ok mais je comprends pas le "en annulant la dérivée tu obtiens le R qui minimise A."

cours d'analyse :
une fonction, dérivable sur I,
si alors f admet un extremum en x₀.

Ici :

tu résoud

[A voir en vidéo sur Futura]

[titeauroredu41]

alors je récapitule pour voir si j'ai bien tout compris: la fonction f(R) je la dérive, ensuite je fais f'(R)=0 et après c'est bon?
Désolé de faire celle qui comprends rien mais la je suis totalement embrouillée avec touts essais que j'ai fait et qui n'ont jamais abouti!

[lapin savant]

oui, tu trouveras Ropt qui rend la fonction extremale. Il faudra vérifier qu'il s'agit bien d'un minimum (après calcul) :

[titeauroredu41]

alors la je suis légérement embétée car "le Ropt qui rend la fonction extremale" ca j'ai pas encore vu!!

[lapin savant]

alors la je suis légérement embétée car "le Ropt qui rend la fonction extremale" ca j'ai pas encore vu!!

Y a rien à voir !! La variable de la fonction étant notée R (comme x), la valeur particulière qui annule la dérivée, je la note Ropt ("optimal") pour pas confondre !
Tu résoud f '(R)=0, ça te donne qqchose que tu noteras comme tu veux (Ropt c'était bien ), et ensuite tu vérifie que tu as bien un minimum (cf mon post précédent).

[titeauroredu41]

ok merci beaucoup beaucoup bon je vais essayer et si ca va pas, je pourrais te reposer des question?

[lapin savant]

Reviens si ça va pas

[titeauroredu41]

dsl mais je n'y arrive pas j'en ai marre marre et marre , je sais je suis débile mais bon!

[lapin savant]

Le volume est lui :
donc

Alors


On dérive :

et tu cherches Ropt tel que :

[titeauroredu41]

Merci Merci Merci infiniment, en fait j'ai compris pourquoi ca allait pas car quand j'ai mis h en fonction de V, au lieu de faire h=v/(pi*r²) j'ai mis h=(pi*r²)/v c'est pour ca que ca allait pas. MAis je me repète et je me répète merci beaucoup!!!!

[titeauroredu41]

bon je vais faire ma chiante encore un peu mais vu ou j'en suis j'ai plus rien a perdre! je comprends pas pourquoi quand tu fais f'(R)=0, le R² du dénominateur disparait entre -(2v/R²)+4Pi*R et 4pi*R³=2V ?

[lapin savant]

le R² du dénominateur disparait entre -(2v/R²)+4Pi*R et 4pi*R³=2V ?

soit
et on passe tous les R du même côté (tu multiplies des côtés par R²):

[titeauroredu41]

ok c'est bon je vois. Bon je te remercie beaucoup et je te rassure normalement je te dérangerai, promis. merci encore pour ton aide précieuse!!!