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formule de Leibniz



  1. #1
    enjoy03

    Lightbulb formule de Leibniz


    ------

    Bonjours à tous !

    J'ai un exercice que je n'arrive pas à résoudre,

    Soit f une fonction définie pour tout réel diférent de 0 par :
    f(x) = exp ( -1/x² )

    On demande de montrer que la dérivée n-ième de cette fonction peut être exprimer comme le produit de f et d'un polynome P(1/x).

    En partant de la dérivée de f on montre aisément que les conditions d'application de la formule de Leibniz sont vérifiées pour tout interalle privé de 0... De plus cette formule me parait toute indiquée afin de trouver un polynôme. Les dérivées successives de f donneront toujours un terme exp(1/x²), donc pas de probleme pour mettre ce terme en facteur. En revanche je n'arrive pas à me dépatouiller avec mes dérivées d'ordre k et n-k afin de faire apparaitre mon polynome.

    Meric à tous ceux qui pourront me donner des indications !

    -----

  2. #2
    God's Breath

    Re : formule de Leibniz

    Il est beaucoup plus simple de démontrer ce résultat par récurrence.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

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