Limites avec DL ?

[invite2305bc56]

Bonjour,

Je cherche à montrer que, lorsque n tend vers l'infini, tend vers l'infini, et que tend vers 1.

Après, je dois montrer que pour tout n entier naturel non nul.

Pour , j'ai dis que car , donc que tend vers l'infini pour n qui tend vers l'infini. Mais si j'applique ce principe pour , je tombe dans l'erreur, car je montrerais aussi que tend vers l'infini.
Par contre, en utilisant le terme de plus haut degré, on a qui tend vers 1 pour n qui tend vers l'infini, mais après, par passage au produit, je ne suis pas sûr qu'on puisse dire que ça tend toujours vers 1 ?
Comment puis-je montrer ces deux limites ?

Quant à l'inégalité, je sèche
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Je cherche à montrer que, lorsque n tend vers l'infini, tend vers l'infini, et que tend vers 1.

Avec ces notations, on a et , aussi me semble-t-il que l'on doit de parler de et .

En tout cas, ce genre s'étudie via et , ce qui transforme le produit en somme.

[invite2305bc56]

Je n'avais pas pensé à utiliser le logarithme, je vais voir ce que j'obtiens. Merci.

Par contre, l'énoncé mentionne bien que et s'expriment en fonction de la racine ou du carré de et non pas (ça me parait bizarre, mais bon).

[invite2305bc56]

J'obtiens donc:




Mais pour le passage à la limite, les croissances comparées me disent que et tendent toutes les deux vers l'infini (en "négligeant" le log devant n) ?! Où donc est-ce que je me trompe ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

On n'est pas dans un cadre de croissance comparée...
Il faut utiliser un équivalent de ln(1+x) lorsque x tend vers 0.

[invite2305bc56]

Ok, j'ai donc ln(1+x) équivalent à x lorsque x tend vers 0. Ce qui me donne équivalent à en +inf. Donc tend vers l'infini, et donc aussi !

Je viens juste de commencer les équivalences en classe, je n'ai pas encore les bons réflexes.

En ce qui concerne , quelle équivalence dois-je utiliser, car on a aussi du ln(1+x) avec x qui tend vers 0, d'une certaine manière...

Enfin je trouve mais je n'ai pas d'équivalence dans mon cours pour continuer cette égalité.

[invite57a1e779]

Ok, j'ai donc ln(1+x) équivalent à x lorsque x tend vers 0. Ce qui me donne équivalent à en +inf.

Pour , c'est le même calcul avec à la place de !!!

[invite2305bc56]

Oula oui, autant pour moi... je dois fatiguer.
Je vais chercher pour l'inégalité, puis au dodo.

Je te remercie beaucoup!

Bonne soirée.