endomorphisme

[invitef7cb9c5c]

est-ce que montrer l'existence d'un endomorphisme unique tel que l'application f.... revient à montrer qu'il qu'il n'existe qu'une seule application linéaire de R3 dans R3?
fifrelette
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[invite7ffe9b6a]

Bonsoir,
Un endomorphisme d'un espace vectoriel E est une application linéaire de E dans E.

Montrer qu'il existe un unique endomorphisme de R^3 qui vérifient blablabla , revient à montrer qu'il n'y a qu'une seule application linéaire f de R^3 dans R^3 qui vérifient blablabla.

Typiquement, deux applications lineaires qui coincident sur une meme base sont egales.

J'espere avoir répondu à ta question.

[invitef7cb9c5c]

Je ma suis remise au travail aujourd'hui et j'ai trouvé ta réponse
je te remercie
j'aimerai encore uneprécision: est-ce qu'il existe seulement une unique application linéaire f qui envoie une base d'en une autre base. Alors mon problème est simple de montrer que f (base de départ) est une base?
où existe -t-il une méthode plus élègante?
fifrelette

[invite7ffe9b6a]

Soit E un espace vectoriel de dimension 3
est une base.

est une autre base.

Alors il existe une unique application linéaire f de E dans E tels que

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef7cb9c5c]

merci pour ta réponse maintenant c'est bien claire par contre
coordonnées dans une nouvelle base

SOS, je ne m'en sors vraiment pas alors

Dans R3
1. e1=(1,0,0); e2=(0,1,0) et e3= (0,0,1)
et la base B1= ( e1+e2, e2+e3, e1+ e3)
et un endopmorphisme unique
f(e1+e2) = 3(e1+e2)
f(e2+e3)= -4 (e2+e3)
f( e3+e1)= 2( e3+e1)
donc la matriece A de f relativement à la base B1 est
3 0 0
0 -4 0 n'est ce pas?
0 0 2



comment déterminer la matrice B de f dans la base canonique?
je trouve 5 0 0
0 -1 0 j'ai utilisé les combinaisons linaires d'un vecteur u
0 0 -2 quelconque

puis j'essaie autrement et je trouve
pour ma matriceB par une autre méthode j'arive à
9 0 0
B= 0 16 0 = A au carré...
0 0 4
et une troisième méthode je trouve
5/ 2 1 -1/2
b= 7/2 -1 -7/2
3 -6 -1

y-a t-il une de ces réponses exactes?
Je pencherai plutôt pour la dernière...

[invite7ffe9b6a]

Donc



f est linéaire:

[invite7ffe9b6a]

Sinon on peut utiliser les matrices de passage



avec

P=Matrice de passage de à B

Donc = Matrice de passage de B à
soit



Un calcul donne

[invite7ffe9b6a]

il y a craquage c'est pas -3 mais 3....

[invitef7cb9c5c]

merci c'est très clair
je vais essayer de comprendre comment on fait avec la matrice de passage
merci beaucoup
fifrelette

[invitef7cb9c5c]

si j'ai bien compris (j'ai pas encore vu pour les matrices de passage)
cette matrice B est donc l'image de la base (e1, e2, e3) par f
or on a démontré que f est un endomorphisme inversif c'est-à-dire une bijection
Est-ce que cela suffit pour dire que B est inversible?

[invite7ffe9b6a]

oui cela suffit

Si un endomorphisme f est bijectif alors sa représentation matricielle dans n'importe quelle base est inversible.

Réciproquement, si la matrice représentative de f dans une base quelconque B est inversible alors f est bijective (et donc sa reprentation matricielle dans n'importe quelle base est inversible)


EDIT: si tu as pas encore vu les matrices de passage, oublie ce que j'ai écrit à ce sujet. C'est sans doute pas tres clair parce que je me plante assez souvent entre le P et l'inverse de P....

[invite7ffe9b6a]

EDIT: si tu as pas encore vu les matrices de passage, oublie ce que j'ai écrit à ce sujet. C'est sans doute pas tres clair parce que je me plante assez souvent entre le P et l'inverse de P....

D'autant plus que je me suis visiblement planté....

[invitef7cb9c5c]

merci encore pour ton aide
fifrelette