demonstrations projecteurs

[invite69d45bb4]

bonjour à tous .voila j'ai un gros probleme avec les projecteurs.dans le cours:"soit E un K espace vectoriel et F et G deux sous espaces vectoriels supplementaires de E .on sait que tout element x de E peut secrire de facon unique x=x1 + x2, ou x1 appartient a F et x2 appartient a G.on appelle projection sur F parrallelement à G l'application p de E dans E. qui à x associe x1.on dit aussi que p est un projecteur.on montre facilement que p est un endomorphisme de E et que Im p =F et Ker p = G. notons egalement que pour tout x appartient à F p(x)=x." je ne comprends rien au fait que Im p = F et Ker p = G.moi je me dis qu'il faut utiliser les relations p(x)=x1 et p(x)=x2 mais je n'en suis pas sur du tout .et deuxieme chose que je ne comprends pas c 'est la demonstration du theoreme sur la caracterisation d' un projecteur qui dit qu'un endomorphisme p d'un K-espace vectoriel E est un projecteur si et seulement si p rond p=p.j'espere que vous pourrez m'aider .merci par avance.
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[invite57a1e779]

La décomposition est unique, donc



D'autre part


et

[invite69d45bb4]

ok j'ai compris pour ça mai ce que je comprends toujours pas c'est la demonstration de la caracterisation d'un projecteur .le theoreme dit que un endomorphisme p d'un K-espace vectoriel E est un projecteur si et seulement si p rond p=p.voici la demonstration que je ne comprends pas :"soit p un endomorphisme de E tele que p rond p=p .montrons que Im p et Ker p sont supplementaireset que p est la projection sur Im p parrallelement à Ker p. soi x appartient à E x=p(x) +(x - p(x)) or p(x) appartient à Im p et x - p(x) appartient à Ker p car p(x - p(x))= p(x) -p o p(x)=0 donc E=Im p + Ker p. soit x appartient à Im p inter Ker p, comme x appartient à Im p il existe t app à E tel que x=p(t) comme x app à ker p ,p(x)=0 or p(x)=p o p(t)=p(t)=x d'ou x=0 donc im p inter ker p= {0}. im p et ker p sont bien supplementaires la projection sur im p parrallelement à ker p est l'application x -->p(x) c'est à dire p." voila donc si quelqu'un pouvait m'aider ce serait sympa. merci par avance.

[invite57a1e779]

On prouve que , et que la décomposition de tout vecteur est avec et , ce qui caractérise bien comme le projecteur sur parallèlement à .

Qu'est-ce qui fait difficulté dans ce raisonnement ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite69d45bb4]

ben pourquoi x - p(x) appartient à ker p et pourquoi "soit x appartient à im p inter ker p comme x app à im p il existe t app à E tel que x=p(t),comme x appartient à ker p , p(x)=0 or p(x)=p o p (t)=p(t)=x d'ou x=0 donc im p inter ker p={0}."?

[invite57a1e779]

[invite69d45bb4]

mais dans le cas present E=F+G c'est pareil que de dire que F+G est la somme directe?

[invite57a1e779]

La somme , c'est l'existence de la décomposition .

La somme directe , c'est l'existence et l'unicité de la décomposition .

[invite69d45bb4]

ok merci beaucoup pour toute cette aide.

[invite69d45bb4]

je voudrais juste avoir une petite precision sur le sujet.pour montrer que Im p=F doit on ecrire d'abord: x app à Im p-->il existe un unique y app à E , x=p(y)=y1-->x app à F ou d'abord:
x appartient à F-->x2=0-->x=x1=p(x)-->xappartient à Im p.

merci d'avance.

[invite57a1e779]

Peu importe.

x app à Im p-->il existe un unique y app à E , x=p(y)=y1-->x app à F

C'est la preuve de ; et le « unique » est de trop dans ce raisonnement, le projecteur n'a rien d'une injection.

x x appartient à F-->x2=0-->x=x1=p(x)-->xappartient à Im p.

C'est la preuve de

Tu démontres ces deux inclusions dans l'ordre qui te convient le plus.

[invite69d45bb4]

mais je ne comprends pas pourquoi on note p o p (y)=0 et pas p o p (x)=0.

[invite57a1e779]

Si , alors ...

[invite69d45bb4]

mais pourquoi x=p(y) ?

[invite57a1e779]

mais je ne comprends pas pourquoi on note p o p (y)=0 et pas p o p (x)=0.

Ca sort d'où ?????

[invite69d45bb4]

non en fait je veux juste savoir pourquoi on aurait x=p(y)

[invite57a1e779]

Parce que : !!