Bonsoir,
Dans un exercice que je viens de traiter, on a une fonction f définie sur R+*, croissante et minorée.
D'après la correction, ces deux conditions impliques que f a une limite finie en 0+.
J'arrive à le comprendre intuitivement, mais pas à le démontrer. Comment pourrais-je procéder ?
Merci bien
Bonsoir,
On a bienet
C'est la limite en zéro, pas en +inf, mx6.
VOilà ce que je propose : comme f est croissante, la suite Un=f(1/n) est décroissante et minorée, donc converge vers une limite l.
On montre maintenant que l est la limite en 0+, par exemple avec les epsilon :
On sait qu'il existe un N tel que |Un-l| est plus petit qu'eps pour n>N; alors tout x dans l'intervalle ]0,1/N[ sera tel que f(x)<=f(1/N) par croissance. Donc |f(x)-l|<eps
Effectivement erric, y a une erreur de frappe , mais il suffit de remplacer l'infini par 0, le raisonnement est juste.
En fait je ne vois pas le raisonnement, il me semble que tu utilises un argument du style "la fonction est croissante et minorée, donc elle admet un limite", or c'est ce que l'on demande de démontrer ?
Et de toute façon
Bonjour,
Ericcc, je ne comprends pas pourquoi |f(x)-l|<epsilon.
1/n < 1/N et f croissante donc pour tout x de ]0, 1/N[ f(x)<f(1/N), jusque là je comprends. Mais comment retrouver le l du début et un epsilon positif ?
oui j'ai été un peu rapide.
D'abord il est clair que l<f(1/n) pour tout n (à cause de la croissance)
Ensuite notre x dans ]0,1/N[ est en fait dans ]1/n+1,1/n[ pour un n>=N
et on a donc 1/n+1<x<1/n<1/N (les inégalités au sens large)
f croissante, et en prenant en compte ma remarque initiale :
l <f(1/n+1)<f(x)<f(1/n)<f(1/N)
or |f(1/N)-l|<eps d'où |f(x)-l|<eps
Il y a certainement plus simple, mais bon...
