Bonjour,
J´ai un problème (apparement classique) sur lequel je bloque depuis trop longtemps: Comment trouver tous les groupes commutatifs d´un certain ordre n? Si n est produit simple (i.e. d´ordre de multiplicité 1) de nombres premiers, ça me parait simple, mais sinon?
Merci d´avance
christophe
Je voudrais préciser ma question. J´ai écrit que mon problème est résolu dans le cas où n est le produit simple de nombres premiers. Je voudrais quand même vous soumettre ma solution pour vérification:
Je voudrais utiliser le théorème comme quoi, si n est un entier naturel dont la décomposition en puissances de nombre premiers est:
,
et si (G,+) est un groupe commutatif fini d´ordre n, alors G contient k sous-groupes G1 à Gk et de plus G est isomorphe au produit cartésien de G1 à Gk.
Supposons que n = p.q, p et q étant deux entiers premiers. D´après le théorème précédent, un groupe G d´ordre n est isomorphe au produit cartésien de ses deux sous-groupes d´ordre p et d´ordre q.
En particulier,
J´utilise alors le théorème comme quoi si p est un nombre premier, tout groupe fini d´ordre p est isomorphe à
J´ai alors: G est isomorphe à Gp x Gq, qui est isomorphe à
C´est logique ou ya quelquechose qui cloche? Ceci dit, ça ne résoud qu´une partie de mon problème car ça suppose que l´ordre de multiplicité de la décomposition en nombres premier est toujours 1.
Merci d´avance
Celà m'a l'air juste.
Pour le cas général, il reste à trouver les groupes commutatifs d'ordre une puissance d'un nombre premier. Essaie de voir du côté des diviseurs élémentaires.
Merci pour ta réponse. Intuitivement, je pense que la solution générale de mon problème réside dans le théorème des facteurs invariants, malheureusement j´ai beau lire et relire les textes et aussi les exemples, je nage complètement dès qu´il s´agit de trouver les facteurs invariants d´un groupe commutatif fini.
Cela ne semble pas un problème facile si j'en crois le document suivant:Envoyé par christophe_de_Berlin
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/SD..._18_1_A7_0.pdf
J'espère que ça te sera utile.
En fait ton document répond à la question dès la première page (le reste c'est des estimations).
D'ailleurs il y a une erreur de frappe vers la fin de la première page. Il faut lire :
"Si le sous-groupe
et non pas :
"Si le sous-groupe
merci á vous deux, je vais voir ça tout de suite.
Mais ne vous étonnez pas si je récidive et que je demande des précisions. Ya des jours comme ça où on est bouché.
