Exercice calculs d'intersections

[invited371de5d]

Bonjour, je m'entraine sur un examen de l'année dernière et je voudrais savoir comment trouver le point d'intersection d'une droite et d'un plan (en 3D). Voici l'énoncé :
Soient les points P1 = (1 2 0)T, P2 = (2 0 -1)T et P3 = (0 -2 1)T et la droite définie par A(t) = S + tV
avec S = (1 1 6)T et V = (0 0 1).
1. Déterminer, s'il existe, le point d'intersection entre la droite A(t) et le plan (P) formé des
points P1, P2 et P3.
2. Si ce point d'intersection existe, déterminer s'il est à l'intérieur du triangle formé par les trois
points P1, P2 et P3.

J'ai calculé l'équation du plan et je trouve -6x -5z + 6 = 0 (dites moi si c'est bien ça) mais après je bug...
Pour la 2ème partie je sais comment faire, il me faut juste les coordonnées du point d'intersection

Merci pour votre aide
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[KerLannais]

Salut,

Pour l'équation du plan je dirai plutôt c-a-d . Tu as une équation paramétrique de ta droite, déduis en une équation cartésienne, comme on est en 3D tu devrait obtenir un système de deux équation cartésienne qui correspondent à deux plans dont l'intersection est ta droite. Avec ces deux équations et l'équation du plan tu as un système de 3 équations 3 inconnues en x,y et z, tu n'as plus qu'à résoudre pour trouver le point d'intersection.

[invited371de5d]

Euh oui pour l'équation tu as raison...

Sinon comment tu fais pour déduire une équation cartesienne d'une équation paramétrique ?

[KerLannais]

L'équation paramétrique est équivalente à trois équations:
x=at+b
y=ct+d
z=et+f
tu trouve t à partir de x y ou z selon ce qui est le plus facile en utilisant une des trois équation, tu injecte cette valeur de t dans les deux autres équations et tu obtient deux équations qui ne dépendent que de x y et z, ce système est un système d'équation cartésienne de la droite.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited371de5d]

Ah ben oui je suis bête, donc dans notre cas, on a :
x = 1 + 0t , y = 1 + 0t et z = 6 + t
Or l'équation du plan donne x + z = 1 donc z = 0 vu que x = 1.
Donc le point d'intersection serait le point M(1,1,0) c'est bien ça ?

[KerLannais]

[invited371de5d]

Cool
Bon je fais la question 2, et tu me confirmes si c'est bien ça.
Alors on a une équation du genre aMP1 + bMP2 + cMP3 = 0 et a+b+c= 1
Si on veut que le point M appartienne au triangle (P1,P2,P3) il faut que a,b,c > 0
Ici MP1 = (0 -1 0) MP2 = (1 - 1 -1 ) MP3 = (-1 -3 1)
on se retrouve donc avec :
b-c = 0
-a-b-3c=0 et a+b+c=1
donc b=c et a = 1 - 2c d'où -1 +2c - c - 3c = 0 => -2c = 1 => c = -1/2 < 0 donc M n'appartient pas au triangle.

Est-ce que c'est bien ça ?

[KerLannais]

Je dirai que MP1=(0 1 0) et non pas (0 -1 0) mais a par ça tu as la bonne méthode.

[invited371de5d]

Ah oui, faut que je fasse attention à ne pas aller trop vite :s

Merci pour ton aide

Je vais avoir besoin de toi pour un autre exo, je vais le poster