Developpement limité et limite

[invite6ac3a3cf]

Salut,

Je dois calculer la limite d'une fonction en l'infini.
(Regarder la pièce jointe, il y a tout d'écrit dessus.)
Il nous donne le résultat, j'ai essayé de le retrouver mais impossible...
J'ai fait le developpement limité de LN mais ça me donne un truc un peu bisard et je trouve pas du tout ce qu'il faut au final.

Donc si quelqu'un peut m'aider svp.
Merci beaucoup.
-----

[Flyingsquirrel]

Salut,

Pour information : pour les équations, plutôt que de mettre une image en pièce jointe (qui doit être validée par la modération ce qui peut prendre un certain temps) tu peux utiliser LaTeX.

[invite6ac3a3cf]

ok merci je savais pas.
up s'il vous plait

[Guillaume69]

Bonjour,

On ne peut appliquer les formules de développements limités que lorsque la variable tend vers 0.

La première chose à faire, c'est donc de poser u = 1/x, et d'exprimer f(1/u). On peut éventuellement passer à uf(1/u) ou u²f(1/u) lorsque cela simplifie les calculs.
Ensuite, tu fais un développement limité de l'expression obtenue (attention à l'ordre), et tu repasse à la variable x.
Tu as alors obtenu un développement généralisé de la fonction, dont le premier terme te donne, par définition, un équivalent de f en +infinie.

Voilà pour la théorie... bon courage !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Guillaume69]

Voici la fonction dont tu devras donner un DL(0).

 Cliquez pour afficher

[invite6ac3a3cf]

Merci pour votre aide.
Par contre Guillaume69, je vois pas trop comment faire pour developper
ln(1/1 +u+u²). C'est pareil que quand il y a qu'une seule variable?
Merci

[invite873d63a4]

salut,

il faut simplement pousser le DL de ln à l'ordre 3..

@+

[invite873d63a4]

http://forums.futura-sciences.com/ma...07-limite.html

j'ai galéré sur la même

hé hé

[invite6ac3a3cf]

lol tu passes le concours ENSEA?
Quelle section?
Merci encore

[invite873d63a4]

yep
génie electrique

[invite6ac3a3cf]

pareil^^.
Bonne chance!

[invite6ac3a3cf]

Par contre je galère pour le DL de :
:s
Merci

[invite873d63a4]

tu pose X = u+u²
et tu fais le DL de ln(1+X)

[invite6ac3a3cf]

Merci.
Faut le faire jusqu'à quelle ordre stp?
Merci

[invite873d63a4]

http://forums.futura-sciences.com/ma...07-limite.html

[invite6ac3a3cf]

Oui mais je capte toujours pas.
J'ai fait le DL comme tu m'as dit, mais quand j'ai X² = (U+U²)², je me retrouver avec des U^4, des coefficients monstres!
Et (1-2/U), je le développe ou pas?
Merci

[invite873d63a4]

non tu ne développe pas le terme devant.
ensuite tu ne garde que les coeffs qui t'interessent, c'est à dire max u^3 (attention de ne pas oublier le 1er terme de X^3 = u^3)
les u^4 tu ne t'en occupe pas...

tu vas donc avoir un truc du genre ca :
(1-2/u) * ( u + u²/2 - 2u^3 ) sauf erreur de ma part
tu devrais y arriver après

[invite873d63a4]

pardon c'est -2u^3/3

[invite6ac3a3cf]

lol je sais pas trop.
Je fais le DL, je trouve :

=
Mais après je trouve pas les bon coef...
Je suis bien parti la?
Merci

[invite873d63a4]

il te manque un coeff en u^3
X-X²/2+X^3 = u+u² + [(u²+2u^3+u^4)/2] + 1/3(u^3 +....(on s'en fiche)) mais le 1er terme on le prends
le u^4 tu ne t'en occupe pas
donc il te reste :
u+u² - [(u²+2u^3)/2] + 1/3(u^3)

[Guillaume69]

Tu veux un développement généralisé de f avec un terme en1/x^2. Il faut donc donner un D.L de f(1/u) à l'ordre 2, donc un D.L de uf(1/u) à l'ordre 3.

Le problème, c'est qu'on ne te donnera pas toujours la solution, et que ce sera à toi de le trouver.
Le mieux, c'est donc d'y aller un peu au pif, et de recommencer si besoin, en ce disant qu'il vaut souvent mieux recommencer une ou deux fois en choisissant un ordre trop faible, que de se taper des calculs compliqués pour aller à l'ordre 4 ou 5 alors que seul l'ordre 2 ou 3 est nécessaire.

D.L de :

 Cliquez pour afficher

L'ordre 4 ne te sert à rien ! Il est négligeable par rapport à l'ordre trois, donc inutile de l'ecrire (c'est un )
1
-1
1
-1
On applique les coefficients (en gras) de 1/1+v


1
-1/2 les autres termes sont à l'ordre 4 donc je les copie pas.
1/3 idem.
inutile de calculer w^4 car il ne contient pas de termes à l'ordre 3.
On applique les coeff (en gras) de ln(1+w) et on obtient :

Là encore, je ne développe que les termes d'ordre 3 ou moins :

.
Et là c'est presque fini

[invite6ac3a3cf]

Merci pour votre aide!
Par contre Guillaume69, dans ton developpement, à la fin on devrait trouver :
11U²/ (6) ?
Je suis d'accord avec ton calcul, j'ai trouvé pareil. Mais à la fin on trouve pas ce qu'il demande.
On trouve un exposant au dessus la?Non?
Merci

[Guillaume69]

Il est donc temps de diviser u(f1/u) par u pour obtenir le développement de... f(1/u)
En repassant à la variable x, tu auras ce qu'il te faut.

Et au fait : tu n'as pas calculé une limite, juste un développement généralisé de f(x) à l'ordre 2 La limite s'obtient en faisant tendre x vers l'infini : 2.
quand à 11/6x^2, il ne s'agit pas d'une limite mais d'un équivalent de f(x)+2 en +infini.

[Guillaume69]

Un autre exercice du même style, si ça t'intéresse :

Montrer que la courbe représentative de f admet une asymptote et donner leurs positions relatives.

[invite6ac3a3cf]

Merci vraiment pour ton aide.
Par contre j'ai une toute petite dernière question,je comprends pas pourquoi tu as écrit ?
Merci

[Guillaume69]

. multiplier par u l'égalité donne uf(1/u) = (2-u)ln(...) ce qui permet de ne manipuler que des polynômes. Ceci rend les calculs plus simples, donc de gagner du temps et de limiter le risque d'erreur.

Un autre exemple : si j'avais eu j'aurais multiplié par : : mieux vaut un polynôme de degré trois qu'une fonction rationnelle en 1/u^5

[Guillaume69]

Je finis la question, comme ça tu auras finalement la réponse complète :





Rensignements apportés par ce résultat :
*
*la représentation graphique admet une asymptote horizontale d'équation y=-2 et f est au dessus de cette asymptote, puisque
*f(x)+2 est équivalent à en
la représentation graphique de f admet une asymptote horizontale

[invite6ac3a3cf]

Merci beaucoup pour ton aide!
Je suis désolé de t'avoir dérangé!
Merci encore.

[Guillaume69]

de rien

[invite6ac3a3cf]

Une autre petite question lol. Ca a pas de rapport avec l'exo.
Ca veut dire quoi une fonction qui est "1-périodique"?
Merci