sous espaces stables

[invite6a18bd22]

Bonjour,
Voilà je bloque sur un exercice de réflexion qui est le suivant:
soit u un endomorphisme de k^n tq P(u) soit scindé (polynôme caractéristique de u). On note Fi un sev d'un ss espace caractéristique de u.
Je dois montrer que F stable par u => F = somme directe sur i des Fi.

Je ne veux pas de réponse toute faite mais que l'on m'aide ds mon raisonnement! J'ai traduis toutes les hypothèses :

k^n= som directe ker (u- lambda(i) id)^ni donc je dois montrer en somme que F = som directe sur i ( ker (u- lambda(i) id)^ni inter F), le problème étant que je n'y arrive pas.
Je vous remercie d'avance.
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[KerLannais]

Salut,

Donne un énoncé correct. L'énoncé que tu donnes est pas clair. Les Fi sont des sev quelconques des ss caractéristiques ? et F est n'importe quel sev? y a t'il un rapport entre F et les Fi?
j'ai l'impression que Fi est défini à partir de F comme l'intersection de F avec un ss caractériqtique d'après ce que tu dis ensuite.

[invite6a18bd22]

oui alors j'ai oublié ds l'énoncé que F est un sev de k^n . Sinon l'exo m'a été comme tel. Et "l'intersection de F avec le ker (u- lambda (i) id)= Fi "est juste une piste ce n'était pas noté ds l'exo .

[KerLannais]

Re

L'énoncé de l'exo ce serait pas plutôt que si F est un sev stable par u alors il EXISTE des Fi sev des ss espaces caractéristique de u et tels que F est somme directe des Fi et réciproquement s'il EXISTE des sev Fi des ss espaces caractéristiques de u tels que F est somme directe des Fi alors F est stable par u.

Dans ce cas l'énoncé à un sens.

Si F est stable par u tu peux regarder l'endomorphisme u restreint au départ et à l'arrivée à F que je vais noter v. Tu montre que le polynôme caractéristique de v divise celui de u et donc le polynôme caractéristique de v est lui aussi scindé et F est somme des ss espaces caractéristiques de v et il est facile de montrer que ce sont des sev des ss espaces caractéristiques de u (avec la relation de divisibilité des polynômes caractéristiques).

[A voir en vidéo sur Futura]