intégrale double

[invitec55ae5a9]

Bonjour,
J'ai des exos à faire pour demain, et je ne suis pas très à l'aise avec les intégrales doubles... Pouvez vous m'aider à résoudre cette intégrale?

intégrale double sur C de |x+y|dxdy où C=[-1,1]X[-1,1]

J'ai essayé d'utiliser la loi d'additivité des intégrales en séparant C en C₁ et C₂ avec C₁=[-1,0]X[-1,0] et C₂=[0,1]X[0,1]
et dans C₁ j'ai remplacé |x+y| par -x-y
alors que dans C₂ j'ai remplacé |x+y| par x+y

C'est comme ça que l'on doit faire ou j'ai tout faux?
Avec cette méthode, à la fin je trouve 2...
-----

[Guillaume69]

Bonjour,

La méthode me parait juste. Et j'ai trouvé le même résultat.

[Flyingsquirrel]

J'ai essayé d'utiliser la loi d'additivité des intégrales en séparant C en C₁ et C₂ avec C₁=[-1,0]X[-1,0] et C₂=[0,1]X[0,1]

Attention, (fais un dessin pour t'en rendre compte).

[invitec55ae5a9]

ah oui, en effet, C=C₁interC₂ et non l'union...
Mais alors, comment dois je procéder?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Flyingsquirrel]

ah oui, en effet, C=C₁interC₂ et non l'union...

Non plus. L'intersection de et de ne contient que l'origine. Regarde le dessin en pièce jointe.

Mais alors, comment dois je procéder?

L'idée de couper en deux morceaux où est de signe constant est bonne. Pour que soit positif il suffit que , autrement dit, est positif si le point est situé au-dessus de la droite d'équation . Si j'appelle la partie de située au-dessus de la droite on a

.

Il faut ensuite de déterminer les bornes des intégrales (géométriquement n'est pas une figure très compliquée, c'est un triangle)

[invitec55ae5a9]

D'accord, décidement, j'ai vraiment du mal !
Du coup, si on sépare C en deux ensembles séparé par la droite y=-x on aura
C₁={x<1,y<1,x+y>0}
C₂={x>-1,y>-1,x+y<0}
et je devrai intégrer sur ces deux ensembles, c'est bien ça?

[Flyingsquirrel]

...et je devrai intégrer sur ces deux ensembles, c'est bien ça?

Oui. Par contre on note plutôt (si n'apparait pas on ne sait pas ce que contient (même si on peut le deviner...)).

[invitea07f6506]

Attention :


Les inégalités larges (et non strictes) ne changent rien au calcul, elles évitent juste de s'embarrasser avec des justifications foireuses et/ou faisant appel à des concepts que tu n'as peut-être pas encore vus. En revanche, les bornes entre lesquelles sont compris x et y sont importantes.
Sinon, c'est ça.

Pour éviter un calcul, on peut remarquer que l'intégrale de la fonction sur et celle sur coïncident ; c'est simple, mais à justifier par changement de variables adapté. Et comme c'est par ailleurs totalement facultatif, rien ne t'oblige à le faire.

[invitec55ae5a9]

Oui, merci beaucoup^^
J'ai calculé dans les deux cas, et en effet, à la fin je trouve la même intégrale pour les deux domaines, j'ai trouvé 4/3 donc, en tout j'ai 8/3.
Et pour le deuxième domaine, c'est fait exprés qu'il y'ait un inférieur stricte pour x+y? Moi je voulais mettre des inférieurs ou égales partout, non ?

[breukin]

Quelle est la différence, pour une fonction intégrable, entre :

et

[invitec55ae5a9]

Il n'y en a pas