dérivabilité de fonction

[invite07bd6402]

Bonjour,

Alors voici mon problème : j'ai mes examens finaux la semaine prochaine et je suis actuellement en train de finir de réviser ( je sais c'est un peu tard mais bon ). Donc je refais des exos et la je suis tombé sur un exercice dont je n'ai pas la correction ( et bien sur je ne la trouve pas en cherchant ^^ ), le voici :

étudier la dérivabilité de la fonction f(x)=x²*cos(1/x) si x différent de 0 et f(0)=0.

Donc ce que j'ai essayé de faire : je vois ce que donne la fonction f(0-) et f(0+) et je regarde si les deux donnent 0. Si oui alors elle est dérivable sinon elle ne l'est pas.

On a donc : f(0-)=(0-)²cos(-oo)
et f(0+)=(0+)²cos(+oo)

C'est la où je suis bloqué car je ne sais pas si je peut dire que comme (0-)² et (0+)² sont égal à 0 alors 0*cos(-oo ou +oo)=0 Car cos(x) compris entre -1 et 1 ...

C'est surement tout bête mais je ne trouve pas ^^

Merci bien de votre aide !
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[invitea6f35777]

Salut,

Fait attention, quand tu regarde f(0+) et f(0-) tu étudie seulement la continuité de f, pour la dérivabilité il faut regarder f'(0+) et f'(0-), mais je suppose que tu sais ça.

Pour ton problème de rédaction tu peux utiliser le théorème des gendarmes, tu as:
-x²<=x²cos(1/x)<=x²
car
-1<=cos(1/x)<=1
comme les deux fonctions qui encadrent tendent toutes les deux vers 0 quand x tend vers 0 tu en déduit que ce qui est au milieu tend vers 0 quand x tend vers 0 et tu n'as pas besoin de distinguer les cas x tend vers 0+ et x tend vers 0-.

[invite07bd6402]

Fait attention, quand tu regarde f(0+) et f(0-) tu étudie seulement la continuité de f, pour la dérivabilité il faut regarder f'(0+) et f'(0-), mais je suppose que tu sais ça.

Hum autant pour moi

Donc oui d'accord je n'avais pas du tout pensé au théorème des gendarmes

merci beaucoup !

[breukin]

Pour vérifier la dérivabilité en 0 (la fonction y étant continue comme préalable), il faut calculer (f(x)-f(0))/x.
La fonction y est donc dérivable, et f '(0)=0.
Mais la dérivée n'est pas continue en 0, comme le montre le calcul de f '(x).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite07bd6402]

d'accord donc en gros cette fonction est une fonction continue mais non dérivable sur R.

Merci bien !

[Flyingsquirrel]

d'accord donc en gros cette fonction est une fonction continue mais non dérivable sur R.

Si, si, elle est dérivable sur .

[invite07bd6402]

euuuuhhhh

ah oui c'est uniquement la dérivé qui n'est pas continue

dsl je n'ai pas réfléchis ^^