Integrale convergente

[inviteda4c7955]

Bonjour, j'aurai deux questions :
on note
Comment montrer que la suite n->Fn converge vers 0 en décomposant Fn sous la forme

On montre deux relations :
Fn(x)-Fn-1(x)=xln(x)/n F'n(x)
n/n+1 F'n+1(x)-F'n(x)=Fn(x)/x
comment en déduire que Fn est dérivable deux fois?

merci!
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[invitead1578fb]

Bonjour,

du découpage de ton intégrale tu déduis l'intégrabilité de ta fonction, il te reste à vérifier les autres hypothèses du th de convergence dominée pour trouver le résultat.
Pour montrer la dérivabilité deux fois, exprime la dérivée en fonction de ta fonction initiale et par les th généraux de dérivabilité tu peux conclure sur le fait de dériver encore une fois.
Bonne journée et n'hésite pas à me demander des précisions.
Blable

[inviteda4c7955]

Comment choisi-t-on le a pour le découpage?
Pour la dérivabilité, je ne vois pas comment on utilise les 2 relations?

[inviteaf1870ed]

Pour la dérivabilité, je le ferai pas récurrence sur n :
La propriété Fn est deux fois dérivables est vraie pour n=0
Tu supposes qu'elle est vraie pour n
la deuxième relation te donne F'n+1 en fonction de F'n et Fn, donc F'n+1 existe et est dérivable une fois

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7553e94d]

Bonjour,
sans passer par le découpage proposé, j'arrive à déduire des deux relations l'égalité suivante (en supposant la dérivabilité et tout ce qu'il va) :



On parvient à démontrer que converge vers la 0 (on parle de la suite de réels, à fixé, donc que la suite de fonction converge simplement) ; et ainsi que converge simplement vers la fonction constante nulle (car 0 est la limite de en ).