Fonctions de deux variables

[invited72cba9f]

Bonjour,

Je souhaite trouver les extrema locaux de la fonction f(x)=x³+y³-6(x²-y²).
Pour cela j'ai cherché et trouver 4 points critiques.
Cependant en (4,0) et en (0,-4), puis-je me contenter d'étudier f(α+tk;β+th) et trouver un équivalent en 0 ?
Car dans les deux cas je trouve des équivalents réels strictement positif ou négatif, j'ai donc envie de conclure sur la nature des extrema.

Sinon l'autre méthode que je connais est de calculer f(x,y)-f(4,0) mais je n'aboutis pas, même en posant x=X+4 et y=Y+0=Y...

Merci d'avance !
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[invitec1ddcf27]

Salut,

pour résoudre ton exercice, tu as le droit au théorème donnant une condition suffisante pour qu'un point critique soit un min/max (avec la différentielle seconde, ou la matrice hessienne) ?

[invited72cba9f]

oui pour le 1er théorème.

[invitec1ddcf27]

eh bien applique ce théorème, sauf erreur de ma part, la différentielle seconde au point a = (4,0) est



et donc



est strictement positif pour tout . Donc le point (4,0) est un minimum local. (j'espère que mes notations sont claires, je sais qu'elles en sont pas universelles)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited72cba9f]

Ok je viens de comprendre
Et sinon sans ce théorème je ne peux pas conclure ?

[invitec1ddcf27]

tu peux toujours écrire la formule de Taylor à l'ordre 2 au point (4,0) et regarder ce qui se passe... en gros, cela revient à démontrer le théorème dans ce cas particulier.

en revanche écrire f(x,y) - f(4,0) et tatonner me parait pas judicieux. Tu risque de perdre beaucoup de temps à bidouiller pour pas grand chose ! C'est pas un minimum global, donc il va falloir trouver explicitement un voisinage ou ca marche... un peu galère !

[invited72cba9f]

D'accord d'accord, ben merci beaucoup pour l'aide !
A bientôt !