Bonjour,
On sait qu'il est possible de décomposer toute fonction réelle continue périodique (fréquence f) en une somme de sin et de cos.
Savez-vous s'il y a d'autres décompositions systématiques analogues ? Est-ce que la base (1,cos(n.2Pi.f.t), sin(n.2Pi.f.t))n>=1 est la seule "qui marche à tous les coups" ?
Par exemple, est-ce qu'il serait possible de décomposer notre fonction à l'aide de fonctions triangle périodiques de période multiple de f?
Merci pour vos réponses
Faut voir cela comme une base d'espace vectoriel. Suffit de faire un changement de base pour avoir un autre développement.
Par exemple remplacer sin(2pi f t) et cos(2pi f t ) par (cos + sin)/2 et (cos - sin)/2...
Pour les fonctions triangles, il y a peut-être (?) un problème puisqu'elles ne sont pas Cinfini.
Cordialement,
J'ai posé un peu ma question un peu rapidement car il est clair que la base que j'ai citée n'est pas la seule qui marche.
En fait, ce que je voudrais savoir, c'est si je peux décomposer de manière systématique ma fonction continue périodique en autre chose qu'une somme de cosinus et de sinus. Est-ce qu'il y a d'autres "briques élémentaires" possibles?
P.S : je ne sais si je suis très clair...
Non, toujours pas.
Quelle contrainte précise demandes-tu sur les "briques élémentaires"?
Exclus-tu des combinaisons comme cos(nt)+cos(3nt) par exemple? Sur quel critère?
Cordialement,
Ce serait décomposer ma fonction avec des vecteurs qui ne soient pas de la forme an.cos(αnt+Φn) ou des combinaisons linéaires de tels termes.
Le but, c'est que les vecteurs de ma base ne soient pas des combinaisons linéaires de sin et de cos. Donc en excluant des combinaisons comme dans l'exemple que tu as donné (ex : cos(nt)+cos(3nt))
Bonjour,
regarde du coté des ondelettes qui est "la décomposition de fourier" du 20e siecle. Généralement, on décompose une fonction qui est définie sur l'ensemble des réels mais on peut aussi se ramener à des fonctions définis sur un intervalle borné (donc périodique de période la longueur de l'intervalle).
GOOGLE : décomposition sur une base d'ondelette...
Bien cordialement,
SupraNovice.
Merci pour cet exemple ! (qui a l'air important...)
J'ai un autre exemple en tête, qui correspond peut-être aussi
Tu pourrais très bien décomposer une fonction en séries de taylor, moyennant l'hypothèse Cinfini sur ton intervalle.
Ceci-dit, c'est évident que taylor n'aura pas les mêmes fins.. Théories des ondelettes, transformée des séries de fourier, c'est le top pour la théorie des signaux, car les signaux sinus cosinus, sont à la base de l'électronique et s'obtiennent par génération "naturelle" d'un courant alternatif.
Taylor, c'est plus formel, mathématique, loin d'être utilisé en pratique.
En espérant ne pas être trop dans le faux, et répondre à ta question.
Cordialement,
C'est bien résumé, et ça répond à ma question !
La décomposition de Taylor, ça marche bien pour les fonctions analytiques, très bien pour certaines fonctions analytiques, mais :Envoyé par Evram Ilva
* dans le cadreréel général, ça ne marche pas si bien que ça (série qui ne coïncide pas avec la fonction de départ sur son disque de convergence...)
* ça n'a rien de particulier vis-à-vis des fonctions périodiques.
* ça marche particulièrement mal quand on considère des fonctions qui n'ont pas besoin d'êtres continues.
Sinon, je rejoint Michel sur un point (il suffit d'avoir une base orthonormée de fonctions), à la nuance près que je ne vois pas en quoi la dérivabilité intervient (on considère des bases de
De plus, je t'invite aussi comme SupraNovice, à regarder les bases d'ondelettes d'un peu plus près.
