Convergence d'une suite vers sup(f(x))

[Guillaume69]

Bonjour,

Dans pas mal d'exercices sur les suites réelles définies par Un+1 = f(Un) et Uo I on montre que (Un) est croissante et majorée (décroissante et minorée), donc qu'elle converge vers une limite telle que ( ou, dans l'autre cas,

Puis, dans 99% des cas, on trouve à l'aide d'un encadrement et du théorème des gendarmes que .

Je me demandais s'il n'y avait pas un théorème qui pourrait donner directement le résultat, et à quelles conditions ?

Merci bien
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[prgasp77]

Une technique qui marche bien, c'est, une fois avoir démontré que la suite est croissante majorée, conclure que existe et vérifie puisque . Ainsi, est point fixe de . Ça marche un peu moins bien quand à plusieurs points fixes qui collent bien ...

Cordialement,

[g_h]

Après il faut faire gaffe quand f n'est pas continue en ses points fixes par exemple. Bien sûr, ce genre de cas sera le plus souvent "fait exprès" qu'autre chose.

[Guillaume69]

Bonjour,

Là vous parlez d'un point fixe de f. C'est donc visiblement le théorème du point fixe que vous utiliser : "Si f est contractante sur I alors f admet un unique point fixe sur I et la suite définie par Un+1=f(Un) avec Uo dans I converge vers ce point fixe".

Mais moi je parlais plutôt d'une borne supérieure ou inférieure.

Exemple avec cet exercice, voici comment on le traite :
Un+1 = -1/Un +1 Uo = -2.
f(x) = -1/x +1. et Uo R donc (Un) est monotone et comme U1>U0 (Un) est croissante.
On montre que (Un) < 1 (qui, au passage, est sup(f(x))) par récurrence. (Un) est croissante et majorée donc elle converge vers avec .
Et là, comme d'habitude, il y a 99,9% de chances que la limite soit 1. Mais, comme d'habitude, je n'ai aucun moyen d'en être sûr et j'utilise un précieux temps de préparation pour le vérifier "au cas où" alors que je pourrais passer aux questions d'après, limite en tête, et ne faire la démonstration que devant le jury

On suppose l < 1. car (Un+1) est une suite extraite de (Un). D'autre part, car f est continue en .
Donc . d'où ce qui est absurde.
Donc l = 1... Une fois de plus, la suite convergeait bien vers sup(f(x))

C'est pour ça que je me suis demandé si un tel théorème existait

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea41c27c1]

"Si f est contractante sur I alors f admet un unique point fixe sur I et la suite définie par Un+1=f(Un) avec Uo dans I converge vers ce point fixe".

On a aussi le theoreme
converge vers implique est point fixe de , comme l'a dit prgasp77, et comme tu l'as montré dans ton raisonnement.

f(x) = -1/x +1. et Uo R donc (Un) est monotone et comme U1>U0 (Un) est croissante [...].

Un ne converge pas et n'est pas majorer par 1 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

[g_h]

Je ne vois pas bien le problème... tu ne veux pas de la propriété qu'on te donne mais au final tu la redémontres dans ton exemple !

La monotonie et le fait qu'il y ait une borne sup/inf te permet de conclure sur la nature de la suite.

Dans le cas d'une fonction "suffisamment continue", la limite sera toujours un point fixe.
J'ai l'impression que tu te mélanges un peu... si on t'avait demandé (piège !) de montrer que Un < 2 pour tout n, la limite aurait quand même été 1, le fait que ça soit "comme ça à chaque fois" vient juste de la "difficulté" de l'énoncé, il est facile de construire des suites qui se majorent très difficilement, même par quelque chose qui n'est pas le sup.
Il n'y a rien de profond derrière tout ça hormis le théorème du point fixe (ou plutôt une version affaiblie puisque l'on a déjà la convergence)

[Guillaume69]

Je ne vois pas bien le problème...

Le problème, je crois, c'est que j'en ai créé un alors qu'il n'y en avait pas

Et puis, ayant changé d'exemple en cours de route de mon message, j'ai écrit n'importe quoi

Il n'y a rien de profond derrière tout ça hormis le théorème du point fixe

Ceci répond donc définitivement à ma question. Merci à vous ^^