rang d'une matrice

[invite69d45bb4]

bonjour à tous

voici l'enoncé en piece jointe


ma question :

pourquoi "Comme les deux premiers vecteurs colonnes sont linéairement indépendants (car non colinéaires), le rang de M est au moins égal à 2 " ?

merci par avance
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[invite69d45bb4]

juste une petites question
On appelle rang de A la dimension du sous-espace vectoriel de K^n engendré par les vecteurs colonnes de A

que signifie ici le terme " engendré " ?

[invite02e16773]

Bonsoir,

soit F une famille de vecteurs.
E est engendré par F si, et seulement si E = Vect {F}. On dit aussi que F est génératrice de E.

le rang d'une famille, c'est dim(Vect{F}).
le rang d'une matrice A, noté rg(A), associée à l'endomorphisme f, c'est la dimension de Im(f). Et comme, par définition, Imf = vect{famille formée par les vecteurs colonnes de A}, c'est dim (Vect{colonnes})).

Pour trouver la dimension d'un espace, il faut connaître une base de cet espace. En effet, Card(base) = dim(E), par définition de la dimension d'un espace.
Appliqué à ton cas, on cherche une base de Imf. Une fois qu'on l'aura, on n'aura qu'à compter son cardinal et on aura la dimension de Imf, c'est-à-dire rg(f), c'est-à-dire rg(A).

Mais qu'est-ce qu'une base ? Une famille libre et génératrice.
Or ici, on a déjà une famille génératrice, puisque Imf = Vect{colonnes}.
On cherche donc, à partir de ces colonnes, à obtenir une famille libre.

Donc, si tu trouves que deux vecteurs colonnes de ta matrice forment une famille libre (ce qui est équivalent à "deux vecteurs sont colinéaires"), c'est que ta base est au moins constituée de deux vecteurs.
Donc rg(A) est supérieur ou égal à deux.

Remarque : Pour montrer que trois vecteurs sont libres, il faut faire un calcul de déterminant. Ou alors revenir à la définition d'une famille libre.

[invite69d45bb4]

E est engendré par F si, et seulement si E = Vect {F}. On dit aussi que F est génératrice de E.

quand tu dit que F est generatrice de E tu parle bien de famille generatrice non ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite69d45bb4]

attend ya un truc que je ne comprends pas ma matrice ne represente pas un endomorphisme puisque elle n'est pas carrée

[invite02e16773]

Oulah oui ^^
Remplace "endomorphisme" par "application linéaire". Désolé.

Mais le raisonnement est bon.

quand tu dit que F est generatrice de E tu parle bien de famille generatrice non ?

Oui, F est ici une famille.