Bonjour,

Voici un problème qui apparaît quand on étudie l'équation de Boltzmann et qu'on veut montrer que les seuls invariants de colision sont la masse, la quantité de mouvement et l'énergie cinétique, mais rassurez, vous n'aurez pas besoin de connaissance en physique sur l'équation de Boltzmann pour répondre à cette question, c'est juste pour dire que ce petit problème peut avoir une utilité et qu'il vient de la physique mathématique, discipline qui peut dégouter à tors certaines personnes.

Par ailleurs, je réfléchis toujours à un problème avant de le poster, et donc en fait j'ai trouvé la solution, mais c'est un problème joli amusant et pas trop difficile (à mon sens) et donc je voulais en faire profiter les têtes chercheuses de ce forum. Donc avis aux amateurs Qui plus est il y a sans doute plusieurs réponses possible et si quelqu'un a une démonstration particulièrement élégante je suis preneur.

Voici le problème:
On considère une fonction de dans continue (en fait mesurable suffirait mais là ça devient technique) et qui à la propriété géométrique suivante:

Pour tout rectangle (les sommets sont nommés de telle sorte que et soient les diagonales du rectangle), la somme des valeurs de la fonction en des points "diagonalement" opposés ne dépend pas de la diagonale, autrement dit:

(cette valeur commune dépend du rectangle par contre)

1-Montrer que est une forme quadratique.
2-En déduire l'ensemble des solutions à ce problème.

et plus difficile (pour les fan de la théorie de la mesure)

3-Refaire les question 1 et 2 en supposant mesurable seulement.
4-Donner un contre-exemple pour montrer que si on enlève l'hypothèse mesurable, le résultat n'est plus vrai.