Arithmétique

[invitef1b93a42]

Bonjour,
J'ai entamé un exercice d'oral de concours comportant une seule question et je sèche un peu. Il faut déterminer . J'ai juste déduis que , mais rien de plus. Peut-être que la formule de Legendre sur la valuation p-adique d'une factorielle pourrait aider mais je n'ai rien trouvé de précis. Pourriez-vous me donner un petit indice svp ?

Merci à vous.
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[Seirios]

Bonjour,

Je ne sais pas si cela peu t'aider, mais déjà, si je note d le PGCD que tu cherches, .

[Seirios]

A y regarder de plus près, il y a même égalité ; tu peux montrer que , or est le plus petit terme.

[Thorin]

tu peux montrer que

ca, c'est faux dans le cas général, il y a une restriction que je te laisse retrouver pour que ça fonctionne

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Il faut que ; c'est ce à quoi tu pensais ? (je ne pense pas, parce que cela me paraît trop évident...)

[Thorin]

nan, je connais pas de condition nécessaire ("il faut..."), mais la condition suffisante que je connais c'est "si p et k sont premiers entre eux, alors, k parmi n est divisible par n"
Et 4 parmi 8 n'est pas divisible par 8.

[invitef1b93a42]

On doit avoir donc ici ce n'est pas forcement le cas, on a pas .

[Seirios]

En fait ; donc il faut que pour que , ce qui est évidement le cas lorsque k et p sont premiers entre eux, mais pas dans le cas général...Dans ce cas je n'ai rien dit

[Seirios]

Je ne sais pas si cela peu t'aider, mais déjà, si je note d le PGCD que tu cherches, .

Je voulais dire , bien sûr ; on peut même dire . J'ai essayé de voir ce que le résultat donnait pour , et à chaque fois le PGCD était 1, 2 ou 3.

[Sylvestre]

Bonjour,

J'ai réussi à monter que le pgdc recherché est forcément une puissance de 2.
J'utilise le fait que la plus grande puissance d'un nombre premier p qui divisise n! est
où [m]=partie entière de m.

On choisit p, un premier plus grand que 2. Si alors n'est pas divisible par p. Cela se voit facilement en utilisant la fonction f. Si, par contre, p ne divise pas n, alors n'est pas divisible par p. Donc le pgdc que l'on cherche est forcément une puissance de 2. La solution finale ne doit pas être bien loin.

[martini_bird]

Salut,

on ne peut pas conclure simplement en disant que le PGCD recherché divise la somme alternée de ces combinaisons, qui vaut (1-1)^2n-2=-2 ?

Cordialement.

[Sylvestre]

Salut,

on ne peut pas conclure simplement en disant que le PGCD recherché divise la somme alternée de ces combinaisons, qui vaut (1-1)^2n-2=-2 ?

Cordialement.

Magnifique !

On n'a donc plus que 2 possibilités : le pgdc vaut 1 ou 2.

[martini_bird]

Et il suffit de considérer la parité de donc de n...

Cordialement.

[invitef1b93a42]

Belle solution martini_bird, mais je ne comprends pas comment tu obtiens car lorsque je fais une somme alternée des avec je trouve que .

[Universus]

En fait, si .

Ainsi, et vaut 0 pour . Ainsi,

[martini_bird]

Salut,

il me semble que la somme s'effectue pour k de 1 à 2n-1 dans l'énoncé, non ?

Cordialement.

EDIT : grillé par Universus.

[Universus]

Je me rends compte que la justification se base complètement sur l'identité que j'ai donnée, qui n'est pas a priori intuitive. Il y a différentes façons de la démontrer, comme en considérant le binôme de Newton (1- x)ⁿ et sa formule, en différentiant un certain nombre de fois (dépendamment de v) par rapport à x et en évaluant en x=1.

Autrement, on peut partir de la définition d'une dérivée et dériver v fois :

.

Sachant que la dérivée d'une puissance nième de x devient nulle après qu'on l'ait dérivé au moins v = n+1 fois et en utilisant la formule du binôme de Newton sur le binôme à l'extrême droite afin de pouvoir manipuler l'équation et faire apparaître l'identité recherchée (qui est, on s'en rend compte à ce moment là, le seul terme qui permette que la limite puisse être nulle à partir de v=n+1).

PS : Je me doute bien qu'il ne s'agit que d'une notation, mais peut-on écrire C^n_k plutôt que C^k_n comme vous le faites (parce que ça m'a pris du temps à comprendre le problème personnellement à cause de ça, interprétant les choses à l'envers dans quel cas il n'y aurait pas eu de réponse possible...)

[Thorin]

si tu veux mettre le k en bas, utilise la notation avec des parenthèses^^ mais quand on met le C, on inverse.

[Universus]

Ah bien merci de la précision J'ai appris les coefficients binomiaux avec Wikipédia, mais je me rends compte que j'en ai fait une utilisation tout personnelle (je crois que ma mauvaise habitude va me rester). Mais merci encore de cette précision, je ne m'étais encore jamais rendu compte que je n'utilisais pas conventionnellement la notation C.