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Logarithme Népérien



  1. #1
    oursonn

    Logarithme Népérien


    ------

    Bonjour, je vous prévient par avance, je n'ai pas de eu cours sur cet exercice, seulement un exemple avec un autre exercice corrigé.
    Donc il y peut-être des trucs stupides que j'aurais tout simplement mal compris (notamment mon x qui tend vers 1+, je ne sais pas d'où sort ce 1+). Merci d'avance de votre éventuelle aide, voici ce que j'ai fait :

    Soit f la fonction définie par
    f(x) = 2 + (x-2) Ln(x-2)/x
    f(2)=2
    1) Déterminez l'ensemble de définition de f.
    2) f est elle continue en 2 ? (justifiez)
    3) Etudiez la dérivabilité de f en 2.
    4) Que peut on en déduire par rapport à C(f), la courbe représentative de la fonction f ?
    1) f est définie en 2 et pour x =/= 2 et pour (x-2)/x > 0.
    D'où (f) = ]-¤¤ ; 0[ U [2 ; +¤¤[

    2) Pour (x -> 1+) : lim f(x) = lim 2 + (x-2) Ln (x-2)/x = lim 2 + (x-2) Ln 2+ (x-2) - (x-2) Lnx = 2 = f(2)
    2 + (x-2) l'emporte sur son logarithme en 1.
    f est donc continue à droite en 2.

    3) Étudions la dérivabilité de f à droite de 2 :
    Pour (x -> 1+) : lim (2 + (x-2) Ln (x-2)) / 2 + (x-2) = lim Ln (x-2)/x = +¤¤

    f est donc dérivable à droite de 1.

    4) C(f) admet une demi-tangente vertical à droite de (2,0).

    -----

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  3. #2
    oursonn

    Re : Logarithme Népérien

    f est donc dérivable à droite de 1.
    Oups, c'est en 2 bien évidemment.

  4. #3
    Duke Alchemist

    Re : Logarithme Népérien

    Bonsoir.

    Faut-il bien lire ?

    1) Il y a un contresens dans ta proposition de réponse : tu écris que x peut être à la fois égal et différent de 2...
    (x-2)/x > 0
    Cette condition est la bonne et l'unique (dans ton cas) et c'est une inégalité stricte donc le 2 est exclu du domaine de définition.

    2) Cela manque de clarté...
    Pourquoi étudies-tu la limite en 1+ alors que c'est en 2+ et 2- ?...
    De toute façon, il n'est pas possible que cette fonction soit continue en 2 puisque non définie en 2- (peut-être est-ce que l'on attend comme réponse)
    Es-tu sûr(e) de la fonction ?

    Sinon, dans le cas général, il te faut étudier la limite à gauche et la limite à droite si ces limites sont égales alors la fonction est continue (ou être prolongée par continuité) en ce point.

    3) Pourquoi encore en 1+ ?
    Il te faut étudier l'existence (ou la non existence ) du nombre dérivé en 2.
    La limite de l'expression du nombre dérivé à gauche puis à droite. etc...

    4) A priori OK, si on parle de la bonne fonction...

    Duke.

  5. #4
    oursonn

    Re : Logarithme Népérien

    Tout d'abord merci beaucoup d'avoir répondu. Si j'ai fait beaucoup de faute c'est parceque je suis en cours par correspondance, qu'on a pas ce cours précis, et que le prof de math censé nous répondre sur notre forum de cours par correspondance n'a jamais répondu.

    En gros j'ai deux solutions : trouver le cours (en cherchant sur Google par exemple) et demander de l'aide sur les forums de maths. Et c'est ce que je suis en train de faire.

    Citation Envoyé par Duke Alchemist Voir le message
    Bonsoir.

    Faut-il bien lire ?
    Oui.

    1) Il y a un contresens dans ta proposition de réponse : tu écris que x peut être à la fois égal et différent de 2...
    Cette condition est la bonne et l'unique (dans ton cas) et c'est une inégalité stricte donc le 2 est exclu du domaine de définition.
    C'est un peu confus pour moi : tu pourrais me donner la réponse de cette première question ?

    Tu mettrais simplement : (x-2)/x > 0 donc c'est défini sur ]0 ; +¤¤[ ?
    2) Cela manque de clarté...
    Pourquoi étudies-tu la limite en 1+ alors que c'est en 2+ et 2- ?...
    De toute façon, il n'est pas possible que cette fonction soit continue en 2 puisque non définie en 2- (peut-être est-ce que l'on attend comme réponse)
    Es-tu sûr(e) de la fonction ?

    Sinon, dans le cas général, il te faut étudier la limite à gauche et la limite à droite si ces limites sont égales alors la fonction est continue (ou être prolongée par continuité) en ce point.
    Si j'étudie la limite en 1+ c'est que dans l'exercice corrigé que j'ai c'est comme ça que c'était fait. Je ne comprenais pas d'où sortait ce 1, donc je me suis dit "bon ben je vais le garder".

    Bon alors ce que je fait c'est d'étudier la limite à gauche et à droite. (C'est à dire en 2- et en 2+ ?)
    Et si elles sont différents, j'en conclue que f n'est pas continue en 2 ?
    C'est ça ?

    3) Pourquoi encore en 1+ ?
    Il te faut étudier l'existence (ou la non existence ) du nombre dérivé en 2.
    La limite de l'expression du nombre dérivé à gauche puis à droite. etc...
    Heu... Comment on fait pour étudier l'existence du nombre dérivé en
    2 ? (ne pas me lancer des pierres, s'il vous plait)

    4) A priori OK, si on parle de la bonne fonction...

    Duke.
    Ah cool, ça fait un truc de juste (dommage que je l'ai fait un peu au hasard...).

    Ou sinon plutôt que de vous embêter à tout m'expliquer, est-ce que quelqu'un sait il existe sur le net des cours qui pourraient m'aider à résoudre ce genre d'exercice ?

    Merci d'avance dans tout les cas !

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    oursonn

    Re : Logarithme Népérien

    Peut-être ais-je posé trop de question à la fois.
    Pour faire simple et étape par étape :

    Soit f la fonction définie par

    f(2)=2

    1) Déterminez l'ensemble de définition de f.
    Concrètement que faut il répondre ?

    Merci beaucoup !

  8. #6
    jameso

    Re : Logarithme Népérien

    qui est x ?

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  10. #7
    jameso

    Re : Logarithme Népérien

    Ne pas tenir compte de mon message précédent...

    tu cherches les x pour lesquels ta fonction est bien définie ie les x tels que (x-2)/x soit strictement positif, c'est tout...

    je te rappelle qu'étudier le signe d'un quotient revient à étudier le signe du produit, tu dois savoir faire ça normalement,

    sinon regarde le graphe de ta fonction, ça peut t'aider

    N'oublie pas que ta fonction est définie en 2 puisque f(2)=2, il faudra rajouter 2 à l'étude faite plus haut

  11. #8
    oursonn

    Re : Logarithme Népérien

    Voilà ce que je mettrais :
    Premièrement : (x-2)/x > 0
    Deuxièmement : x-2 s'annule en 2
    Et pour finir : x s'annule en 0.

    Et donc l'ensemble de définition de f est ]- oo, 0[ U ]2, + oo[

    C'est ça ?

    Ensuite pour la question 2 : f est elle continue en 2 ? (justifiez)

    Comme on l'a dit plus haut il faut étudier la limite à gauche et à droite et si elles sont égales, alors f est continue en 2. Et la limite à gauche est 2- et à droite c'est 2+.
    C'est ça ?

    Si c'est ça, pour est-ce que quelqu'un pourrais me montrer comment on fait pour 2- ? (et une fois que j'aurais vu pour 2-, je saurais faire pour 2+).

    Merci beaucoup !

    f(x) = 2 + (x-2) Ln(x-2)/x

  12. #9
    jameso

    Re : Logarithme Népérien

    non ce n'est pas ça, tu oublies que f est définie en 2.. car f(2)=2

  13. #10
    jameso

    Re : Logarithme Népérien

    Deja l'ens de definition de ta fonction est bien:
    D=]-oo,0[U[2,+oo[, note que j'inclus bien 2

    ceci fait, intéressons nous à la continuite en 2 de ta fonction , montrer de la continuité c'est calculer une limite , précisément la limite de f en 2 vaut elle f(2) ?? (en 2+ exactement)

    1ere étape

    que vaut f(2) ? c'est facile ça...

    2ieme étape

    calculer la limite de f en 2+,
    pour ça tu écris que pour tout x dans D différent de 2 on a :

    f(x)=2+ (x-2)*ln((x-2)/x)=2 + (x-2)*ln(x-2) -(x-2)*ln(x)

    reste à calculer les limites en 2+ de ces trois termes , chose facile si tu connais tes limites usuelles...

    3ieme étape

    il ne reste plus qu'a comparer les resultats des deux étapes précédentes pour conclure que f .... continue en 2.


    pour la dérivabilité en 2, on revient de même à la définition (taux accroissement).....
    Dernière modification par jameso ; 12/07/2009 à 09h59.

  14. #11
    jameso

    Re : Logarithme Népérien

    dans ma troisième étape il manque continue en 2 "A DROITE"

  15. #12
    oursonn

    Re : Logarithme Népérien

    Citation Envoyé par jameso Voir le message
    Deja l'ens de definition de ta fonction est bien:
    D=]-oo,0[U[2,+oo[, note que j'inclus bien 2
    Tu inclus 2 parce que f est défini en 2 comme dit plus haut ? Ou c'est pour une autre raison ?
    ceci fait, intéressons nous à la continuite en 2 de ta fonction , montrer de la continuité c'est calculer une limite , précisément la limite de f en 2 vaut elle f(2) ?? (en 2+ exactement)

    1ere étape

    que vaut f(2) ? c'est facile ça...
    F(2) vaut 2, donc.
    2ieme étape

    calculer la limite de f en 2+,
    pour ça tu écris que pour tout x dans D différent de 2 on a :

    f(x)=2+ (x-2)*ln((x-2)/x)=2 + (x-2)*ln(x-2) -(x-2)*ln(x)

    reste à calculer les limites en 2+ de ces trois termes , chose facile si tu connais tes limites usuelles...
    Alors...
    Quand x -> 2+ alors :
    lim 2 + (x-2)*ln(x-2) -(x-2)*ln(x) =
    lim 2 + (2+ - 2)*ln(2+ - 2) - (2+ - 2)*ln(2+) =
    lim 2+ (0+)*ln(0+) - (0+)*ln(2+) =
    lim 2

    C'est ça ?
    Si oui, ça voudrait dire que f est bien continue à droite en 2.

    Et maintenant il faut faire la même chose à gauche avec 2-, c'est ça ?

    Quand x -> 2- alors :
    lim 2 + (x-2)*ln(x-2) -(x-2)*ln(x) =
    lim 2 + (2- - 2)*ln(2- - 2) - (2- - 2)*ln(2-) =
    lim 2+ (0-)*ln(0-) - (0-)*ln(2-)
    lim 2

    Et du coup comme f est aussi continue à gauche en 2, on peut conclure que f est continue en 2.

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  17. #13
    jameso

    Re : Logarithme Népérien

    oui j'ai inclus 2 car f(2)=2 , ta fonction est definie en 2 donc 2 appartient à l'ens de definition de f,


    ta fonction f est en effet continue à droite en 2 mais elle n'est pas continue à gauche en 2, comment veux tu faire tendre x vers 2 en restant inférieur à 2 puisque ta fonction n'est pas définie pour x inferieur à 2 (hormi pour x<0 mais ce n'est pas un voisinage de 2): tu n'as donc pas de limite en 2-

    Au final ta fonction n'est pas continue en 2 mais quand même continue à droite en 2


    rq: on ne dit pas qu'une fonction tend vers 0+ ou vers 1+ ceci n'a pas de sens.....

  18. #14
    jameso

    Re : Logarithme Népérien

    ma conclusion est erronée ,en fait ta fonction est continue en 2 car il suffit qu'elle le soit à droite en 2 pour être continue (cela tient de la forme de ton intervalle de definition ..) sinon le reste du discours tient ...

    sauf erreur ou omission ...

  19. #15
    oursonn

    Re : Logarithme Népérien

    en fait ta fonction est continue en 2 car il suffit qu'elle le soit à droite en 2 pour être continue
    T'es sur ? Moi il me semblait qu'il fallait pouvoir passer de 2- à 2+ "sans lever le crayon" pour dire que la fonction est continue en 2. Or là comme 2- n'existe pas, pourquoi serait-elle continue quand même ?

    Mais sinon, effecitvement j'ai fait une erreur en calculant avec 2- puisqu'effectivement la fonction n'est pas défini pour 2-.

  20. #16
    N72011

    Re : Logarithme Népérien

    Les choses ont été mal expliqué sur Maths-Forum ?

  21. #17
    oursonn

    Re : Logarithme Népérien

    Non, mais la réponse sur math-forum n'est pas la même qu'ici !
    Sur math forum on me dit que ce n'est pas continu, et ici on me dit que si (à moins que j'ai mal compris quelque chose ?). Du coup j'ai un peu de mal à savoir qui à raison ou non... (même si à priori j'ai plutôt tendance à penser que la fonction n'est pas continue en 2 puisque non défini à gauche)

    Ensuite, et j'ai également posé la question sur math-forum :

    Pour la dérivabilité en 2, comment faut il faire ?
    Pour (x -> 2+) : lim (2 + (x-2) Ln (x-2)) / 2 + (x-2) = lim Ln (x-2)/x = +oo

    Et donc puisque ça part vers plus l'infini, j'en conclus que f n'est pas dérivable à droite de 2 ?

  22. #18
    jameso

    Re : Logarithme Népérien

    ton interlocuteur xyz1975 sur maths-forum te dit à15h13 que ta fonction est continue en 2 et je suis d'accord avec lui......

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  24. #19
    oursonn

    Re : Logarithme Népérien

    D'accord, c'est ce qui me semblait aussi ! Merci à vous tous !

    Ensuite pour la dérivabilité normalement c'est bon.

    Il ne me reste plus que la question 4 : Que peut on en déduire par rapport à C(f), la courbe représentative de la fonction f ?

    Un ami m'a dit que la réponse était : Au point de coordonnées (2,2) la courbe admet une tangente parallèle à l'axe des ordonnées.

    Est-ce juste ? Si oui les coordonnées sont (2,2) tout simplement car f(2) = 2 ?

  25. #20
    oursonn

    Re : Logarithme Népérien

    Pour voir si j'ai bien compris je vais faire un autre exercice du même type donc si vous pouviez simplement me dire si c'est juste ou non ce serait vraiment sympa (je l'ai aussi mis sur math-forum pour avoir le plus d'avis possible).

    Soit f la fonction définie par
    f(x) = 2 + xLn(x/(x+1))
    f(0)=2
    1) Déterminez l'ensemble de définition de f.
    2) f est elle continue en 0 ? (justifiez)
    3) Etudiez la dérivabilité de f en 0.
    4) Que peut on en déduire par rapport à C(f), la courbe représentative de la fonction f ?
    1) f est définie en 0 et x/(x+1) > 0
    x s'annule en 0 et x+1 s'annule en -1
    L'ensemble de définition de f est donc ]-oo ; -1[ U [0 ; +oo[

    2) Si x>0 on peut écrire f(x) = 2 + xLn(x) + xLn(x+1)
    0- n'est pas défini, donc il n'est pas possible que f soit continue en 0 à gauche.
    Pour lim (x -> 0+) f(x) = 2
    Donc f est bien continue en 0 à droite.

    3) ( f(x) - f(0) ) / (x - 0) = Ln(x/(x+1)) = Ln(x) - Ln(x+1)
    Et lim (x -> 0) Ln(x) = -oo
    f n'est donc pas dérivable en 2.

    4) La courbe admet une tangente au point de coordonnées (0,2).

  26. #21
    oursonn

    Re : Logarithme Népérien

    2) Si x>0 on peut écrire f(x) = 2 + xLn(x) + xLn(x+1)
    Oups, il s'agit bien sur de : Si x>0 on peut écrire f(x) = 2 + xLn(x) - xLn(x+1)

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