Bonjour, je vous prévient par avance, je n'ai pas de eu cours sur cet exercice, seulement un exemple avec un autre exercice corrigé.
Donc il y peut-être des trucs stupides que j'aurais tout simplement mal compris (notamment mon x qui tend vers 1+, je ne sais pas d'où sort ce 1+). Merci d'avance de votre éventuelle aide, voici ce que j'ai fait :
1) f est définie en 2 et pour x =/= 2 et pour (x-2)/x > 0.Soit f la fonction définie par
f(x) = 2 + (x-2) Ln(x-2)/x
f(2)=2
1) Déterminez l'ensemble de définition de f.
2) f est elle continue en 2 ? (justifiez)
3) Etudiez la dérivabilité de f en 2.
4) Que peut on en déduire par rapport à C(f), la courbe représentative de la fonction f ?
D'où (f) = ]-¤¤ ; 0[ U [2 ; +¤¤[
2) Pour (x -> 1+) : lim f(x) = lim 2 + (x-2) Ln (x-2)/x = lim 2 + (x-2) Ln 2+ (x-2) - (x-2) Lnx = 2 = f(2)
2 + (x-2) l'emporte sur son logarithme en 1.
f est donc continue à droite en 2.
3) Étudions la dérivabilité de f à droite de 2 :
Pour (x -> 1+) : lim (2 + (x-2) Ln (x-2)) / 2 + (x-2) = lim Ln (x-2)/x = +¤¤
f est donc dérivable à droite de 1.
4) C(f) admet une demi-tangente vertical à droite de (2,0).
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