Logarithme népérien

[invitead4a4304]

Bonjour,

Je vous expose mon problème: au dernier DS de math j'ai eu 0/3 à une démonstration et j'aimerai savoir si ma démonstration est bel ou bien fausse et s'il n'y a pas d'arguments en sa faveur:
La question était la suivante :
" Déterminer lim ((ln (x² + 1)) / x lorsque x tend vers zéro.
J'ai utilisé le fait que lim ((ln (x+1)) / x est égale à 1 lorsque x tend vers zéro.
J'ai posé X = x²,
et j'ai obtenu
lim [ln(X+1] / (X/x) x tend vers zéro c'est là que ça coince puisque j'ai exprimé des X et des x en même temps ( ce qui est apparemment une absurdité mathématique). Mais j'ai bien précisé que c'est parce que lim X est egale à lim x lorsque x tend vers zéro.
On obtient à la fin
lim [ln (X+1)x] / (X) lorsque X et x tendent vers zéro et donc la limite est égale à 0 car on a la lim (X+1)/X qui tend vers 1 et lim x qui tend vers 0.
Donc la limite de l'expression tend vers 0.
Je trouve le bon résultat à la fin et j'ai essayé des dizaines de valeurs avec un résultat juste. J'aimerai donc savoir pourquoi ma démonstration considérée comme fausse marche por toutes valeurs de x et s'il n'y a pas des arguments pour soutenir ma démonstration et ainsi récupérer quelques points. Est ce que comme X et x sont liés et ont la même limite en zéro ne peut on pas mêler des X et x.
Merci de bien vouloir me répondre.
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[Anthonaille]

Quand tu fais un changement de variable il ne doit JAMAIS rester la moindre trace de l'ancienne variable dans la nouvelle expression.
Quand tu poses ln(X+1)x/X c'est quoi la variable ? x ? X ?
tu ne peux pas laisser le 2 ensembles ça ne veut rien dire, c'est comme si dans une fonction f(x) on passait à f(x,y) sans avoir aucune d'idé de ce que le y viendrait faire là...

il eut fallu remplacer le 1/x par 1/racine(X) (+ ou - suivant que x tende par valeur superieure ou inférieure) comme ça tu obtenais bien la même valeur mais avec une seule variable.

[invitec56065da]

salut,
je crois qu'il ya pas de probleme dans ce cas, car x^2 et x les deux tend vers 0. l'important c'est que les deux variable tendent vers la meme chose. lim ln(x^2 +1)/x = lim (ln(x^2 +1)*x)/x^2
et on a lim ln(x^2 +1)/x^2 =1 et lim x = 0 donc lim ln(x^2 +1)/x = 1*0=0 .
"Anthonaille:" il eut fallu remplacer le 1/x par 1/racine(X) (+ ou - suivant que x tende par valeur superieure ou inférieure) comme ça tu obtenais bien la même valeur mais avec une seule variable. " justement c'est ce qu'il a fait:1/x= 1/racine(X)<==> x=racineX <==>X=x^2
ps: 0/3 ça me parait injuste
à+

[Anthonaille]

1/x= 1/racine(X)<==> x=racineX <==>X=x^2

Merci je sais, et encore pour x strictement positif sinon on perd l'équivalence. Seulement das son expression il a posé x/X ce qui laissait l'ancienne variable, en posant 1/rac(X) il avait la même chose mais sans l'ancienne variable.

La démonstration emploie des arguments qui ne veulent rien dire et donc ne vaut rien :

Quand tu as une fonction f(x) tu a parfaitement le droit de faire un changement de variable pour te retrouver avec une fonction g(u) plus simple.
Même si la variable u est conditionnée par la variable x, la fonction g est une fonction de u, c'est u sa variable, tu ne peux pas faire intervenir x dans l'expression de g ça ne voudrait rien dire car g n'a aucun rapport avec x mais seulement avec u.

L'idée était bonne mais il n'y a aucun rigueur, quand tu as une fontion d'une variable il ne doit plus y avoir que sa seule variable et pas autres choses (les fonctions de plusieurs variable ça existe mais alors les différentes variables sont totalement indépendantes).


Dernière subtilité :en posant X=x² on se ramène à une convergence par valeur superieure à gauche et à droite pour X (car X toujours positif) alors que x converge par valeur inférieure à gauche.
Ici ça ne change pas grand chose mais dans certains cas ça pourrait tout foirer

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec56065da]

oui oui je vois mais des fois on n'a besoin de changer le variable que dans un seul terme de la fonction,donc on peut faire ce qu'il a fait (garder x) mais en separant les limittes par ex: lim(f(x)+g(x))=limf(x) + limg(x) (et montrer celà au correcteur) .
ps: vous avez d'autres limittes à travailler? (j'aime bien les limittes)