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dual du dual de C(X) ?



  1. #1
    Ising

    dual du dual de C(X) ?


    ------

    Bonjour à tous,

    Voilà, j'ai un petit problème d'analyse fonctionnelle... Considérons l'espace C(X) des fonctions continues, équipé de la norme sup. C'est un Banach, et on peut construire son dual. Son dual est également un espace de Banach, et le théorème de représentation de Riesz-Markov me dit qu'il est isomorphe à M(X), l'espace des mesures signées sur X.

    Maintenant, on sait que le dual de M(X) contient C(X). Mais est t'il égal à C(X) ? A t'on C(X)** = C(X) ?

    A+

    Ising

    -----

  2. #2
    Ksilver

    Re : dual du dual de C(X) ?

    Salut !

    Sauf erreur : (j'ai pas de référence, j'ai pensé à ca à l'instant...)

    C(X) n'est pas réfléxif (C(X)** contiens strictement C(X) )


    en effet si C(X) etait le dual de M(X), alors la boule unité (fermé) de C(X) serait compact pour la topologie faible (Banach-Alaoglue), et donc d'apres le théorème de Krein-Millman elle serait l'envelope convexe fermé de ces points extremaux.

    or on vérifie assez facilement que les seul points extremaux de la boule unité de C(X) sont la fonction constante égal à 1 et la fonction constante égal à -1... et leur envelope convexe fermé ne contiens que des fonctions constante ^^ (donc c'est faux dès que X a au moins deux points)

  3. #3
    Ksilver

    Re : dual du dual de C(X) ?

    Hum... je viens de me rendre compte que j'ai supposé X conexe...

    faudrait réfléchir un peu plus à ce qui ce passe sur un espace non conexe...

  4. #4
    Ising

    Re : dual du dual de C(X) ?

    Citation Envoyé par Ksilver Voir le message
    Hum... je viens de me rendre compte que j'ai supposé X conexe...

    faudrait réfléchir un peu plus à ce qui ce passe sur un espace non conexe...
    Génial, un grand merci. Ca répond complètement à ma question !

    A+

    Ising

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Ising

    Re : dual du dual de C(X) ?

    En fait, non...

    or on vérifie assez facilement que les seul points extremaux de la boule unité de C(X) sont la fonction constante égal à 1 et la fonction constante égal à -1... et leur envelope convexe fermé ne contiens que des fonctions constante ^^ (donc c'est faux dès que X a au moins deux points)
    me semble inexact. Si c'était vrai, cela voudrait dire que les seuls fonctions telles que sup |f| = 1 seraient des combinaisons linéaires convexes de ces deux fonctions constantes çàd également des fonctions constantes, et ça, c'est quand même bizarre... Les points extremaux de la boule unité de C(X), c'est l'ensemble des fonctions telles que sup |f| = 1.

    Sinon, je m'intéresse en particulier aux cas X = [0,1]Z, et {0,1}Z.

    Merci quand même pour le tuyau...

  7. #6
    Ksilver

    Re : dual du dual de C(X) ?

    seraient des combinaisons linéaires convexes de ces deux fonctions constantes çàd également des fonctions constantes, et ça, c'est quand même bizarre..>>> ba c'est justement la ca la contradiction !

    pour dire que la boule unité est l'envelope convexe de ces points extremaux, on à besoin qu'elle soit compact... et pour ca il faut banach alaoglu et donc etre sur le dual d'un espace. (c'est comme ca qu'on montre que L1 n'est pas le dual d'un espace : ca boule unité n'a aucun point extremaux)


    pour trouver les point extremaux de C(X) c'est tres simple :

    soit f une fonction dans B telle que il existe x avec |f(x)|<1, on à alors |f(t)|<m<1 sur un petit voisinage V de x, en prenant u une fonction telle que u est nul en dehors de V , inférieur à 1-m sur V, et non nul en x, on à que f=((f+u)+(f-u))/2 est un barycentre de point de B, donc f n'est pas extremal...
    moralité : les points extremaux sont les fonction f telle que |f| est constant egal à 1. si on suppose X conexe, ce sont donc des fonction constantes. Si X est non conexe... faut encore réfléchir un peu (si il à une composante conexe qui contiens deux element c'est bon... si il est totalement discontinu j'en sais rien )

    si tu as du mal à visualiser pourquoi il n'y à que ca comme point extremal pour la norme infini, regarde ce qui ce passe dans R^n munie de la norme infinie...

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