équa diff non linéaire

[sailx]

bonjour à tous.
Alors, les vacances se font sentir, et j'ai un peu du mal à m'y remettre.
voici une équa diff :

Soit k un réel tel que


La question est : montrer qu'il existe un intervalle ouvert I contenant 0 tel que E admette une unique solution de classe vérifiant y'(0)=1 et y(0)=0.

Et là, j'suis perdu...
Pour l'unicité de la solution, je pensait utiliser le théorème de Cauchy. Mais est ce qu'il marche pour des ED non linéaire ??
Pour l'existence d'un intervalle ... faudrait que je trouve " à l'instinct" une solution qui marche ... ? (j'ai essayer, mais j'crois que j'suis pas doué pour ce genre de chose ...)


Et si on pouvait m'expliquer quels raisonnement on essaye de faire avec des equa diff non linéaire ... ça serait sympa


Merci d'avance.
-----

[KerLannais]

Salut,

Il faut utiliser le théorème de Cauchy-Lipschitz qui marche aussi pour les équations non linéaires, tu devrais trouver assez facilement l'énoncé voir une démonstration sur internet étant donné que c'est un grand classique. Mais d'abord il faut mettre l'équation sous forme résolue, c-à-d sous la forme:

Au vu de la condition sur on cherche une solution dont la dérivée est positive au voisinage de et qui vérifie donc:

bien sûr il faut que ce qu'il y a sous la racine soit positif, mais la fonction

est parfaitement définie et régulière sur un intervalle ouvert contenant et ça tombe bien on cherche des solutions telles que . Pour l'existence d'une solution sur un certain intervalle I ça ne pose donc aucun problème il suffit de vérifier les hypothèses du théorème (à noter qu'il suffit de demander à ce que et la condition sera automatiquement remplie d'après l'équation)

Pour l'unicité, on peut utiliser le résultat d'unicité donné par le théorème à condition de justifier le fait que si on prend une solution alors sa dérivée est bien positive sur l'intervalle I de sorte quelle est effectivement solution de l'équation sous forme résolue.

Je ne pense pas à priori qu'il y ai de solutions simples qu'on puisse trouver au pif, il me semble que la résolution directe (par séparation de variable) amène à des intégrales elliptiques et donc c'est pas trivial

[sailx]

Merci beaucoup pour cette explication.
Je vais essayer de digérer tout ça, et je posterai ma réponse rédigé plus tard.


Merci beaucoup !

En faite, il s'agit bien d'ellipse .. ou plutôt de coniques.
le but du problème entier est de trouver une condition pour que ,étant donné deux coniques, on puisse construire un polygone inscrit dans la 1er et circonscrit à la 2nd.

[sailx]

bon bon bon ...
alors, déjà,
j'ai une équation diff, (E) avec une condition qui est y(0)=0
dans le théorème de Cauchy-Lipschitz, on me demande d'avoir une équation de type
Et, si f est localement lipschitzienne par rapport à la variable y, alors il existe une et une seule solution maximale à l'équation respectant la condition de Cauchy y(0)=0. Son intervalle de définition est ouvert.
(trouvé sur wiki)

donc, je met sous la forme demander. Et je regarde s'il n'y à pas un problème du au carré.



et, ce qui est sous la racine est positif au voisinage de 0 car y(0)=0
Donc, on à l'existence d'un ouvert I contenant 0 sur lequel est défini

ensuite, il faut montrer que est lipschitzienne par rapport à y : (pas réussi à le montrer)

une fois ceci démontrer, on peut utiliser le théorème de Cauchy-Lipschitz qui nous donne que
Il n'existe qu'une seul et unique solution maximale au problème de cauchy.
Ensuite, grace à l'équa diff, on à que y' est encore dérivable d'ou que la solution est de classe

Est ce que tout le raisonnement est là ? (mis à part la majoration ...)
ais-je tout bien mis ?

encore merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[KerLannais]

Salut,

Oui, le raisonnement est correct. Pour le caractère lipschitzien je te conseille d'utiliser le résultat suivant:

une fonction qui est sur un segment est lipschitzienne.

En effet, l'inégalité des accroissement finis nous dit que pour :

[sailx]

Ah, effectivement, c'est pas mal comme argument.
J'ai plus qu'a montrer que y' est de classe et comme l'intervalle I c'est nous qui le fixons, ça roule tout seul.

Pour le C1 de y' j'aurai tendance à dire que comme on cherche les solution C2 de l'équa diff, ça tombe tout seul. Mais j'aime pas, j'toruve ça fait un peut voler...

sinon, on peut dire que au voisinage de x=0, la fonction phi est de classe C1 tout simplement par théorème usuelle.

et voilà on à le caractère lipschizien de la fonction et tout baigne

Merci beaucoup. Je posterai sûrement la suite. Car après, on étudie un peu les solutions (rien qu'à regarder l'énoncé j'ai peur)

[edpiste]

Pas besoin de la machinerie du théorème de Cauchy-Lipschitz pour intégrer cette équation. Il suffit, comme évoqué dans une des réponses, d'utiliser la méthode de séparation de variables pour obtenir existence et unicité (locales)

[KerLannais]

Salut,

Oui je suis d'accord avec toi edpiste, surtout qu'apparemment sailx ne connaissait pas le théorème de Cauchy-Lipschitz

[sailx]

non, je connaissais pas du tout ...
Je crois que j'ai fait un petit abus de langage.
On à vu qu'une equa diff linéaire avec une condition initial n'admettais qu'une unique solution.
Et dans ma tête c'était ça le théorème de Cauchy.
Je n'avais jamais vu ce théorème.

sinon, pour la séparation des variables,
On fait
puis on intègre.
On à donc que la solution est une primitive du terme à gauche avec une constante déterminé par la constante.
et ça donne l'existence et l'unicité
(existence car au voisinage de 0, y(0)=1, donc, la primitive est bien défini)

Ensuite, la suite... Comment étudier la parité d'un tel fonction solution ? je me doute qu'il faut utiliser l'equa diff, mais j'vois pas trop comment ...

[edpiste]

exploite l'unicité que tu as démontrée à la première question...