Probabilité

[invite88212cc7]

Bonjour,

J'essaie de résoudre l'exercice suivant :

"Considérons un systéme électronique en série constiué de deux composantes indépendantes dont les durées de vie sont respectivement de loi exp(A) et exp(B).
On sait que le sytème tombe en panne dés que l'une des deux composante tombe en panne.
Determiner la probabilité que la composante 2 soit la cause de la panne du sytème"


Pour résoudre ce probléme je raisonne de la maniére suivante :

J'utilise les probabilités conditionnelles et je cherche :

P(Y <= t | X > t) = (je développe par la formule des proba cond.)
avec X la durée de vie de la 1er composante et Y la durée de vie de la 2e composante

Est-ce le bon raisonnement ou est-ce que je pars dans n'importe quoi?

Merci
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[invitea07f6506]

X et Y étant indépendantes, on a ; c'est un mauvais conditionnement, qui n'apportera rien.

En fait, il est inutile d'en recourir aux probabilités conditionnelles ; tout ce que tu cherches, c'est la probabilité que le composant 2 claque avant le composant 1, soit Je te laisse faire le calcul.

[invite88212cc7]

Juste, merci.

(heureusement que la bétise ne tue pas :d)

[invite88212cc7]

c'est peut être tout aussi bête mais comment tu calcules cette proba?

P(Y<X) = P( Y-X < 0)

il faut donc déterminer la lois de Y-X

Intuitivement je dirais qu'il s'agit d'une exp(B-A) mais comment le montrer de maniére rigoureuse.

Je parviens sans problème à calculer ce type de loi dans le cas discret, mais dans le cas continu je bloque.

peux - tu m'aider?

Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite986312212]

là par contre tu peux conditionner:

[inviteaeeb6d8b]

Intuitivement je dirais qu'il s'agit d'une exp(B-A) mais comment le montrer de maniére rigoureuse.

La variable aléatoire peut prendre des valeurs négatives, il ne peut donc pas s'agir d'une loi exponentielle.

Tu peux y arriver en conditionnant comme l'a signalé Ambrosio.

[invite88212cc7]

ha comme ca,

merci de coup main

[Guillaume69]

Bonsoir,

Je m'incruste dans la discussion, car je ne comprends pas du tout ce que fait ambrosio. Quelqu'un peut m'expliquer ?

J'aurais raisonné comme ceci :
Une densité jointe du couple (X,Y) est donnée par puisque X et Y sont indépendantes.


Qu'en pensez vous ?

[inviteaeeb6d8b]

Bonjour Guillaume,

Cela revient au même :




NB : tu as écrit et Ambrosio avait écrit

[Guillaume69]

Bonjour Romain,

Je ne connais pas la notation utilisée, avec Y en indice de E, et je ne comprends pas le passage de l'espérance à l'intégrale double.
En effet, si l'on applique la définition de l'espérance, ne devrait-on pas multiplier par sous l'intégrale ?

Sinon, c'est un résultat connu, l'utilisation de cette "espérance bizarre" ?

Je te remercie ^^

[inviteaeeb6d8b]

Ce n'est pas une espérance bizarre

Je ne sais pas quel est ton niveau en probabilité (notamment sur l'espérance conditionnelle), mais en gros ce qu'il faut savoir :


(ce qui se formule en "l'espérance de l'espérance conditionnelle c'est l'espérance")

Ici :


La variable aléatoire est "fonction" de
... c'est comme si tu avais , et tu dois savoir que (on ne multiplie donc pas par sous l'intégrale).

EDIT : sinon, oui, ce type de raisonnement est tout à fait classique

[Guillaume69]

Je ne sais pas quel est ton niveau en probabilité (notamment sur l'espérance conditionnelle)

C'est la première fois que j'entend parler d'espérance conditionnelle

mais en gros ce qu'il faut savoir :

} C'est la fonction indicatrice de l'ensemble A ?

Je ferai mieux de lire quelques trucs sur cette espérance conditionnelle, parce que je ne connais rien.
Si tu as des liens, je suis preneur.

Merci encore

[inviteaeeb6d8b]

C'est la fonction indicatrice de l'ensemble A ?

C'est cela :
si
si

Encore une fois, je ne connais pas ton niveau en probabilité... mais avant de penser à l'espérance conditionnelle, il vaut peut-être mieux se pencher sur la théorie de la mesure et la construction de l'intégrale de Lebesgue.

Je ne peux que te conseiller le fameux cours de J.F. Le Gall qu'il donne à l'ENS : http://www.dma.ens.fr/~legall/IPPA2.pdf

La partie I concerne la théorie de l'intégration, la partie II porte sur les probabilités, avec, à la fin de la partie II, un chapitre sur le conditionnement (chapitre 11 je crois).
(Mais je ne suis pas sûr que ça te plaise C'est d'un très bon niveau en maths.)


Tu n'es pas en bio ?

[invite986312212]

C'est la première fois que j'entend parler d'espérance conditionnelle

mais sûrement pas la dernière si tu étudies les probas...
on peut dire que ce qui fait que la théorie des probabilités n'est pas juste un chapitre de la théorie de la mesure, c'est la notion de conditionnement.

[Guillaume69]

Tu n'es pas en bio ?

Si ! J'aime beaucoup les maths, mais mes connaissances ne dépassent pas celles de BCPST-2.
Je n'imaginais pas que cela irait chercher si loin, à vrai dire. Je pensais juste à une définition supplémentaire, abordable à mon niveau.

Je ne savais pas que je m'attaquais à un si gros morceau, désolé ! :/