Matrice et endomorphisme canoniquement associé.

[invitec9a9f4a6]

Bonjour,
J'ai un soucis sur un exercice d'algèbre :

Soit M une matrice non nulle de M_n(K) de trace nulle et f l'endomorphisme canoniquement associé à M

f n'est pas une homothétie et on doit montrer qu'il existe une base de Kⁿ dans laquelle la matrice de f est de la forme :

O L
C N

avec N appartenant à M_n-1(K) de trace nulle.

J'pense qu'il faut utiliser la formule de changement de base, en utilisant comme première base la base canonique de Kⁿ mais je n'ai pas plus d'idée que ça... Si f n'est pas une homothétie on sait que M est d'ifférente de la matrice diagonale avec les coefficients diagonaux identiques...

Merci à ceux qui pourront me débloquer. Bonne journée.
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[invite9cf21bce]

Bonjour.

Interprète la première colonne de la matrice que tu souhaites obtenir (essaie également de te convaincre que le fait que N soit de trace nulle est automatique).

Le plus simple est de trouver une base (e₁,...,e_n) de Kⁿ telle que f(e₁) = e₂. Note qu'il faut que e₁ et e₂ ne soient pas colinéaires.

Un vecteur e₁ qui convienne est facile à trouver puisque f n'est pas une homothétie. Je te laisse boucher les trous.

Taar.