suites de cauchy convergentes

[invitea34c6e6a]

salut est ce que toute suite (a valeurs dans IR) de cauchy est une suite convergente (la limite est dans IR ) ??
merci !
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[Médiat]

salut est ce que toute suite (a valeurs dans IR) de cauchy est une suite convergente (la limite est dans IR ) ??

On peut comprendre cela comme la définition de IR

[invited73f5536]

Oui, une suite de Cauchy dans est convergente, on dit que est complet.

La démonstration dépend de la construction de (qui est quand même non triviale), mais c'est un fait à démontrer, quelque soit la construction choisie, même celle qui consiste à "compléter" . (on fait converger les suites de Cauchy de rationnels, mais il n'est pas clair à priori que les suites de Cauchy de réels soient convergentes)

[invite3240c37d]

Avec le th (axiome pour certains) de w-Bolzano c'est immédiat ..

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited73f5536]

Je n'ai pas dit que c'était difficile. Si on le montre avec BW, c'est qu'on a choisi la construction de par les coupures de Dedekind. (celle qui consiste à construire afin qu'il ait la propriété de la borne supérieure)
Si on choisit la construction par complétion de Cauchy, ça se fait différement. (et simplement)

[invite3240c37d]

Je n'ai pas dit que c'était difficile. Si on le montre avec BW, c'est qu'on a choisi la construction de par les coupures de Dedekind. (celle qui consiste à construire afin qu'il ait la propriété de la borne supérieure)
Si on choisit la construction par complétion de Cauchy, ça se fait différemment. (et simplement)

Juste pour préciser les choses . Il y a une définition axiomatique des réels, et tous les modèles (constructions) sont isomorphes.
La démonstration de la complétude de R avec W-Bolzano est valide quelque soit le modèle de R choisi .
Evidemment avec une construction Cantor/Cauchy l'utilisation de WB est toujours valide mais complique les choses inutilement.

[invited73f5536]

Je comprend ce que tu veux dire (c'est en rapport avec le théorème qui affirme que est l'unique corps archimédien complet ?), mais la définition axiomatique ne prouve pas l'existence, on est quand même forcé de le construire, non ? (je dois avouer que je ne suis pas très calé sur ces questions)

[Médiat]

Juste pour préciser les choses . Il y a une définition axiomatique des réels, et tous les modèles (constructions) sont isomorphes.

Au passage : ce n'est pas une théorie du premier ordre.