Développements limités : majoration de l'erreur.

[invitea250c65c]

Bonjour,

Soit et une fonction définie sur un intervalle et à valeurs réelles, admettant un .
On sait que si on approxime par au voisinage de 0, l'erreur commise est en , mais, en pratique, ça ne nous renseigne en rien sur l'erreur effectivement commise.

Voici un exemple "concret" :
Je ne sais pas expliciter mais je sais en trouver un à tout ordre (par exemple est une réciproque que je ne sais expliciter).
Je veux calculer à près à l'aide de ce DL.
Comment savoir à quel ordre pousser le DL?
Si est suffisamment dérivable et si j'en connais les nombres dérivés successifs en 0, un petit coup de Taylor-Lagrange et ça marche, mais comment faire si tel n'est pas le cas? De quels renseignements ai-je besoin sur ma fonction?

Merci d'avance.
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[invitea0b22930]

On sait que si on approxime par au voisinage de 0, l'erreur commise est en , mais, en pratique, ça ne nous renseigne en rien sur l'erreur effectivement commise.

C'est une question je me suis posée il y a fort longtemps, et encore récemment avec la vitesse de convergence des suites.
Il s'agit de comportements 'asymptotiques', donc de phénomène qui se produisent quand x est 'suffisamment petit' ou n 'suffisamment grand'. Du point de vue de l'analyse numérique c'est totalement inexploitable. En pratique on fait comme toi, on développe par Taylor, Mc Laurin et autres et on majore le reste par une des nombreuses méthode (reste intégral - thm de la moyenne généralisé, etc...). C'est cette majoration qui nous dit jusqu'où pousser le calcul et pas la forme du D.L..

[invitea250c65c]

Voici un exemple "concret" :
Je ne sais pas expliciter mais je sais en trouver un à tout ordre (par exemple est une réciproque que je ne sais expliciter).
Je veux calculer à près à l'aide de ce DL.

Oups petite erreur, c'est f(1) par exemple evidemment ...

Merci beaucoup AbouAntoun.
Et donc dans le cas ou je ne peux calculer les dérivées sucessives en un point de ma fonction (à supposer qu'elle soit dérivable ...), je suis bloqué?

Merci d'avance.

[invitea0b22930]

Et donc dans le cas ou je ne peux calculer les dérivées sucessives en un point de ma fonction (à supposer qu'elle soit dérivable ...), je suis bloqué?

Et bien, sans autres renseignements sur f je ne vois pas comment faire...

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