équation différentielle d'Abel

[invitee7ee1d51]

Bonjour,

Je dois résoudre l’équation différentielle suivante : w’(y)*w(y)-w(y)=ay²+by. Je sais qu’il s’agit d’une équation d’Abel mais je peux avoir accès à une solution déjà calculée dans les cas où b=6/25 ou -6/25, ce qui n’est pas mon cas.
J’ai donc essayé de résoudre cette équa diff en cherchant une solution sans second membre de ww’-w=0 et je trouve w=y . Puis j’ai fait une variation de la constante pour avoir la solution générale.
Est-ce que mon raisonnement est juste ? Ce qui me pose problème, c’est lorsque je simplifie l’équation sans second membre pour trouver la solution particulière, car je simplifie par w, alors que w peut être nulle à un moment.

Merci d’avance pour votre aide
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[KerLannais]

Bonjour,

As tu testé les solutions que tu as obtenu ? A mon avis elle ne conviennent pas du tout. Le problème n'est pas tant le fait que puisse s'annuler. Certes la fonction nulle est solution de l'équation sans second membre mais on peut en chercher une qui ne soit pas toute nulle et supposer qu'en un certain on a . Comme il est également raisonnable de supposer que est continue (en fait on suppose même qu'elle est dérivable pour que l'équation ait un sens) alors il existe un intervalle ouvert contenant sur lequel ne s'annule pas. On peut travailler sur cet intervalle et simplifier par autant qu'on veut. Le problème est que La méthode de résolution avec l'équation sans second membre et variation de la constante ne marche QUE pour les équations différentielles LINEAIRES. Ce qui cloche notamment c'est que les solutions NE SONT PAS somme d'une solution particulière et d'une solution de l'équation sans second membre.

[invitee7ee1d51]

En effet, je me suis aperçue après avoir poster ce le précédent message que je ne pouvais pas faure la méthode de la variation de la constante. Je me suis un peu mélangée les pinceuax en faisant mes calculs et j'ai simplifier des choses qui ne l'étaient pas.

Même avec ton explication, je ne comprends toujours pas comment résoudre cette équation différentielle. Je ne sais même pas si une solution existe, ce qui m'embeterait beaucoup.

[KerLannais]

Re,

Par contre on peut montrer qu'il existe une solution à l'aide du théorème de Cauchy-Lipschitz On aussi calculer numériquement une solution à l'aide d'un schéma numérique (une méthode de différences finies par exemple). Par contre, je ne sais pas si on peut avoir une formule analytique pour les solutions.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

Voir ici les solutions de ces équations :
http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0125.pdf