Petit casse-tête de rentrée
Salut,
en prévision des longues soirées d'hiver, je vous propose une jolie identité à démontrer : en notantle n-ième nombre harmonique, alors :
J'en ai trouvé une démonstration, mais cette fameuse marge...
Plus sérieusement, je peux indiquer ma démarche, mais l'un des esprits sagaces qui rôdent sur ce forum trouvera peut-être une preuve plus directe que la mienne.
Cordialement.
Salut martini_bird,Envoyé par martini_bird
Salut,
en prévision des longues soirées d'hiver, je vous propose une jolie identité à démontrer : en notant
J'en ai trouvé une démonstration, mais cette fameuse marge...
Plus sérieusement, je peux indiquer ma démarche, mais l'un des esprits sagaces qui rôdent sur ce forum trouvera peut-être une preuve plus directe que la mienne.
Cordialement.
Tu n'aurais pas fait une faute de frappe ?
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Euh non, c'est moi qui en ai fait une.
Désolé
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Dans la sommation, quand on arrive à k=n, que vaut H0 ??? Parce que la définition que tu donnes ne permet de calculer qu'à partir de H1.Salut,
en prévision des longues soirées d'hiver, je vous propose une jolie identité à démontrer : en notant
J'en ai trouvé une démonstration, mais cette fameuse marge...
Plus sérieusement, je peux indiquer ma démarche, mais l'un des esprits sagaces qui rôdent sur ce forum trouvera peut-être une preuve plus directe que la mienne.
Cordialement.
Bonjour
H0 = 0 (c'était d'ailleurs là ma faute de frappe)
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Désolé de ne pas avoir préciser que
Merci Médiat.
Bonjour,
je ne sais pas si c'est plus sagace que toi,
mais une récurrence marche bien, non?
Je ne mets pas le détail des calculs mais en enlevant tout de qui dépasse de la somme et en simplifiant c'est pas trop long à faire.
Salut,
pas si évidente la récurrence, car ce qui « dépasse », c'est
La récurrence est peut-être une bonne idée (?), mais àmha, il faut creuser un peu plus.
Cordialement.
Pour moi ça donne ça:
Je me lance.....
Je dirai que les séries Hn et H(n-k) sont des séries télescopique donc de leur différences il ne restera que le terme 1/k
donc en le multipliant par le 1/k qui est en facteur sa nous donne le résultat....
Non??
Bien joué, il reste à démontrer que
ce qui n'est en effet pas très difficile.
Bravo !
Cordialement.
PS : ma démo était bien différente.
C'est un peu rapide comme raisonnement, non ?
Merci,
et pourrais tu nous donner le principe de ta démo s'il te plait?
J'avoue^^ mais je ne sais pas pourquoi j'ai directement penser à ça!
Sinon encore bravo à Forhaia
a+
Effectivement, la récurrence à l'air de bien marcher.
Moi j'ai essayé avec une autre méthode, mais je suis un peu (beaucoup) bloqué. Je suis arrivé à
J'ai vérifié pour n=1 jusqu'à 3 et ca à l'air de marcher. Mais je n'arrive pas à simplifier l'expression. Sourtout que le coefficient
Dommage, soit je n'ai pas les yeux en face des trous (vu l'heure, ca serait normal), soit j'ai tout faux depuis le début (méthode ou formule, voire les deux ....)
Dans le même genre, je trouve la formule suivante
Bref, pas mieux comme formule (j'ai vérifié la derniere pour n=4 et c'est ok, mais toujours aussi moche).
Salut,
Ma démo est nettement plus compliquée que ta récurrence, notamment car j'ai en vue de généraliser cette formule à des ordres supérieurs. Je suis en train de tenter de la simplifier, mais pour faire vite j'ai démontré les résultats suivants :
Cordialement.
Je ne sais pas trop comment tu veux généraliser ta formule aux ordres supérieurs, mais ta seconde formule se généralise très bien.Salut,
Ma démo est nettement plus compliquée que ta récurrence, notamment car j'ai en vue de généraliser cette formule à des ordres supérieurs. Je suis en train de tenter de la simplifier, mais pour faire vite j'ai démontré les résultats suivants :
Cordialement.
En posant
Pour ta première relation, comment l'as tu montré ? J'avoue que j'ai du mal à voir d'où elle provient (je dois mal m'y prendre pour la montrer je suppose).
Salut,
En considérant les puissances desJe ne sais pas trop comment tu veux généraliser ta formule aux ordres supérieurs,
En effet (et on peut aller aussi dans d'autres directions).mais ta seconde formule se généralise très bien.
En considérant chacun des membres comme les coefficients de séries entières (on a un produit de Cauchy à gauche...).Pour ta première relation, comment l'as tu montré ?
Cordialement.
En cherchant une généralisation,
j'ai trouvé ça (avec la notation de Scorp):
Ce qui se montre tout seul par récurrence sur n.
Bon ben voilà une formule pour l'inverse des cubes, même si elle est un peu moins jolie que la tienne.
La démonstration: encore une récurence
Si jamais tu as un peu de temps : Qu'est ce que tu entends par "symétrie du problème". Si tu peux m'en dire plus, ca m'intéresserait. C'est plus la démarche qui m'intéresse qu'un calcul ou autre.En considérant les puissances des
En fait, on voit qu'avec les nombres harmoniques, il est assez facile de trouver plein de formules plus ou moins jolies. Ce que j'aimerais comprendre, c'est quel est le problème derrière tout ca. En gros, où va-t-on ? Par exemple, le fait de généralister ta relation à des ordres supérieurs amenerait quoi exactement (quoi de plus par rapport à d'autres formules par exemple) ?
Désolé pour ces questions surement simplistes, mais je suis curieux
Salut,
lorsque l'on cherche, on ne sait pas a priori quelle est la direction qui aboutira, c'et bien le problème. Par exemple, ma première formule et celle de Forhaia au message #20 sont des sous-produits de la formule 24 de cette page : on voit ainsi qu'il aurait été difficile de trouver directement une formule générale pour
où
La technique est la même que pour calculer les valeurs de la fonction
C'est en ce sens que je parle de « symétries »... Voilà, en espérant ne pas avoir été trop flou.
Cordialement.
PS : toute ces petites bidouilles viennent de la question posée par }{uman dans ce fil.
Salut,
je me rends compte que je me suis trompé de formules : celles plus haut donne la démarche pour des sommations complètes. Mais le principe est le même : pour les sommes partielles, il "suffit" de considérer des identités entre polylogarithmes...
En passant, et en parlant de symétrie, qui saurait démontrer que
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Cordialement.
