Equation

[invitea2d25da3]

Bonjour,

Il faut trouver les nombres complexes z et z' tels que z+z' = 4+2i et z*z' = 11-2i

Bon la je met sous forme de système et je tombe sur l'équation :

-z'²+z' (4+2i) -11 + 2i =0

Je tombe sur Delta = -32+24i i.e Delta = 4 ( -8+6i)

Et là je sais plus comment faire, Delta est-il positif ou négatif?
Enfait je me demande si c'est la bonne méthode car on n'a pas encore vu les équations du second degré avec les complexes.
Auriez vous une méthode plus simple? En posant z= a+bi , cela ne me paraît pas judicieux.


Désolé de vous faire perdre un peu de votre temps si cela est vraiment trivial , peut-être je cherche trop des trucs compliqués alors que c'est vraiment simple je sais plus trop.
En tout cas merci
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[invite9617f995]

Bon, je sors de terminale donc je n'ai pas vu de cours sur le sujet mais je penses que tu te compliques. Après tout, quelque soit l'équation du second degré et le signe de son determinant, les solutions reviennent toujours au même :

et

En effet, si delta est nul, alors on revient à l'unique solution que l'on connait et s'il est négatif, la solution serait la même que celle que l'on apprend si on considère que Racine(-1)=i (ce qui parait logique, même si on a pas le droit de l'écrire).

Donc, ici tu devrais faire pareil. J'ai testé, tu trouves deux solutions : 3+4i et 1-2i. Fais le calcul, tu verras qu'elles vérifient ton équations.

Voilà, si des personnes un peu plus "connaisseuses" peuvent confirmer ou infirmer ce que je dis ...

Silk78

[invitea3eb043e]

Delta n'est ni positif, ni négatif : il est complexe. Mais cela ne t'empêche pas de chercher ses racines carrées (complexes, évidemment).
Donc tu dois chercher un nombre a + b i dont le carré vaut -8 + 6 i.
Tu poses l'équation et tu trouves a et b (réels, ne pas oublier)

[invitea2d25da3]

J'ai fait comme vous m'avez dit et je trouve que Racinde de -8+6i


= soit à 1+3i ou à -1-3i.

Or d'apres la calculette le résultat est 1+3i donc ma question est pourquoi la seconde solution ne marche pas?
Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea07f6506]

Il faut distinguer deux choses :

* La fonction "racine carrée", définie sur , éventuellement pouvant s'étendre aux complexes de façon passablement foireuse : il n'y a pas de convention sur une telle extension (deux calculatrices pourraient donner deux résultats différents).
Cette fonction étant, comme ce terme l'indique, une fonction, si on rentre , on obtient un nombre complexe, pas deux. C'est pourquoi la calculatrice n'indique que 1+3i ; elle aurait pu n'indiquer que -1-3i, mais pas les deux à la fois.
Cependant, en général, on évite d'écrire si n'est pas dans .

* Les racines de l'équation , qui sont et .


De fait, quand on résout une équation du second degré, les solutions sont :

et

Quelque soit la convention adoptée pour la racine carré, i.e. que l'on choisisse ou , les solutions obtenues sont les mêmes. Notamment, cela ne change rien au final si ta calculatrice donne comme résultat 1+3i ou -1-3i. C'est pour ça que, dans ce cas particulier, on se permet l'abus de notation pour complexe : c'est mal défini, mais comme cela ne change rien au final...