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Equation du cercle osculateur



  1. #1
    Bleyblue

    Equation du cercle osculateur


    ------

    Bonjour,

    On appelle cercle osculateur en un point P d'une courbe C le cercle de rayon R ( R étant le rayon de courbure en P) dont le centre se trouve sur la normale à C en P, à distance R de P,du côté où la courbe C tourne sa concavité. On peut montrer qu'il s'agit du cercle qui épouse le mieux la forme de la courbe.

    Alors bon, mettons que je veuille trouver l'équation de ce cercle pour la courbe y = au point (0,1).

    J'ai donc :




    Et comme le rayon de courbure est donné par :



    Je trouve R = 4.
    La tangeante au point (0,1) a pour équation y = 1, la normale a donc pour équation x = 0.
    Il nous restes à trouver les coordonées du centre. Comme il se trouve à une disante R de (0,1) on a donc le système (pseudo système en fait car x est donné) à deux inconnues suivant :




    On tombe donc sur : | y - 1| = 4
    y = 5 ou y = - 3

    Et le cercle a pour équation :

    1)


    ou

    2)


    Mais il est bien évient qu'une seule de ces équations est celle recherchée (celle du cercle osculateur, qui épouse le mieux la forme de la courbe)
    J'ai vérifier graphiquement. La bonne équation est la n° 2). Le cercle n°1) se trouve du mauvais côté de la courbe (pas du côté ou elle tourne sa concavité donc)

    Ma question est : comment aurais-je pu savoir (sans utiliser ma calculatrice graphique ) que la bonne équation était la n° 2) ?
    Voilà, j'y ai réfléchit mais je ne vois pas trop, donc si vous avez une idée ...

    Merci

    -----
    Dernière modification par Bleyblue ; 30/04/2005 à 13h32.

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  3. #2
    Jackooo

    Re : Equation du cercle osculateur

    Ah ah la géométrie des courbes et des surfaces... que du bonheur !

    Si on note un paramétrage admissible de la courbe, le plan osculateur (en un point birégulier) est le plan passant par est le plan passant par dirigé par le système libre . Ce plan contient aussi la tangente.

    De plus, la concavité en est le demi-plan limité par la tangente et contenant la demi-droite issue de M et dirigée par .
    Un point P de l'espace est dans la concavité en M ssi
    En coordonnées paramétriques, cela donne : ssi .

    Je pense que ca devrait pouvoir t'aider... il faut juste se placer dans le cas où le paramétrage admissible de la courbe est de la forme f(x)...

  4. #3
    Bleyblue

    Re : Equation du cercle osculateur

    Citation Envoyé par Jackooo
    Ah ah la géométrie des courbes et des surfaces... que du bonheur !
    Ah, moi ça me fait plus penser à de l'analyse mais en tout cas j'aime beaucoup

    Malheureusement les math's que tu utilises me dépassent un petit peu ...
    Je ne sais pas ce qu'est un "paramétrage admissible" ni un "système libre" ni un "point birégulier" ...

    Merci

  5. #4
    Jackooo

    Re : Equation du cercle osculateur

    ok.. désolé...

    Soyons un peu plus clair :

    On appelle paramétrage admissible d'une courbe toute application (où est un espace affine euclidien de dimension 2 ou 3) telle que
    • I est un intervalle de
    • est , bijectif, d'image
    • ne s'annule pas.

    On dit qu'un paramétrage admissible est un paramétrage normal ssi

    Un arc est dit régulier si :

    Un arc est dit birégulier si : est une famille libre.

    Dans les cas usuels, c'est toujours vérifié.

  6. #5
    Jackooo

    Re : Equation du cercle osculateur

    En relisant ton 1er message, je me rends compte que j'ai peut-être un peu tout compliqué pour rien...

    Tu as montré que le cercle osculateur était de rayon 4 et de centre : soit (0,-3), soit (0,5)...

    Or comme tu le dis :
    le centre se trouve sur la normale à C en P, à distance R de P,du côté où la courbe C tourne sa concavité
    Or en (0,1), la courbe y=cos(x/2) tourne sa concavité vers les y<0. Donc le seul centre possible est (0,-3)... c'est donc l'équation n°2 qu'il faut choisir.

    J'espère avoir été plus clair et désolé d'avoir embrouillé les choses...

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Bleyblue

    Re : Equation du cercle osculateur

    Citation Envoyé par Jackoo
    J'espère avoir été plus clair et désolé d'avoir embrouillé les choses...
    Oui, pas grave d'avoir embrouillé

    Ah oui en fait c'est logique. Je me disais juste qu'au cas ou j'essaierais avec une courbe nettement plus complexes je ne saurais peut être pas dans quel sens elle tourne sa concavité ... ou alors j'étudie le signe de la dérivée

    D'accord, merci !

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