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Racines complexes et coefficients



  1. #1
    mx6

    Racines complexes et coefficients


    ------

    Bonjour,

    Soit , tel que , et soient non nuls.
    Soient et les deux racines complexes distinctes de .

    Démontrer que .

    J'ai démontré que , puis j'arrive à (si on suppose que c'est l'imaginaire pur

    -----

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  3. #2
    Seirios

    Re : Racines complexes et coefficients

    Bonjour,

    Je trouve quelque chose de bizarre : Les racines s'expriment ; puis , d'où en multipliant la seconde équation par i puis en additionnant : , soit en élevant au carré et en simplifiant : , ce qui entraîne , ce qui ne correspond pas à la solution attendue...Je suppose qu'il y a une énorme erreur dans ce que j'ai écrit
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  4. #3
    mx6

    Re : Racines complexes et coefficients

    On a pas le droit de mettre une racine carré à un complexe

  5. #4
    Seirios

    Re : Racines complexes et coefficients

    Je me croyais dans les réels
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  6. #5
    mx6

    Re : Racines complexes et coefficients

    En faite, faut calculer sachant que . Puis on continue...

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Garnet

    Re : Racines complexes et coefficients

    Citation Envoyé par mx6 Voir le message
    (si on suppose que c'est l'imaginaire pur
    Cette égalité + condition donne .

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  10. #7
    mx6

    Re : Racines complexes et coefficients

    Oké merci, j'y avais pas pensé

  11. #8
    mx6

    Re : Racines complexes et coefficients

    Bonsoir,

    Voici une autre question de la suite de l'exo :

    Montrer que : .

    Si on prend , j'arrive à .

    Une aide svp

  12. #9
    mx6

    Re : Racines complexes et coefficients

    Un indice svp.....

  13. #10
    ericcc

    Re : Racines complexes et coefficients

    Ca me parait faux en l'état : considère l'équation z²-2z+1+s², les racines sont 1+is et 1-is, qui ont donc même module. Cependant le rapport q/p=(1+s²)/2 de cette équation peut être rendu aussi grand que l'on veut.

    Il doit y avoir des contraintes supplémentaires dans ton problème.

  14. #11
    mx6

    Re : Racines complexes et coefficients

    Je me suis trompé, on veut démontrer que c'est équivaut à : (j'ai oublié le carré) et bien sur

  15. #12
    ericcc

    Re : Racines complexes et coefficients

    c'est p²=tq ou bien q²=tp ? Tu as écrit deux formules différentes.

    De toutes façons si tu regardes l'équation que je te propose p²/q=4/(1+s²) peut être plus grand que 1 (s=0.1) et q²/p=(1+s²)/4 peut également être rendu plus grand que 1 (s=2).

    Bref donne nous l'énoncé exact

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  17. #13
    mx6

    Re : Racines complexes et coefficients

    L'énoncé est donné dans mon premier post. L'équivalence à démontrer est : .

    Il y aussi celle là aussi qui me pose problème :

  18. #14
    ericcc

    Re : Racines complexes et coefficients

    Ben ça me parait faux dans les deux cas. Pour le premier je t'ai donné le contre exemple.
    POur le deuxième il suffit de prendre deux réels, par exemple z1=1 et z2=2, alors p=-3/2 et q=2 et p²=9/4, q²=4 puis q²/p²=16/9>1...

  19. #15
    mx6

    Re : Racines complexes et coefficients

    Je n'ai pas du tout compris tes contres exemples !

  20. #16
    mx6

    Re : Racines complexes et coefficients

    Donne moi une équation , avec ses solutions, sans le "s" ni aucune autre lettre !

  21. #17
    ericcc

    Re : Racines complexes et coefficients

    pour la deuxième, regarde l'équation z²-3z+2

  22. #18
    ericcc

    Re : Racines complexes et coefficients

    Pour le premier cas, je n'avais pas vu le facteur 2 sur p
    regarde l'équation Z²-(1+i)Z+i, les racines sont 1 et i qui ont même module...

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  24. #19
    mx6

    Re : Racines complexes et coefficients

    J'ai étudié la première :

    .

    On a et donc .

    De plus .
    Et on a : .
    Comme , n'a pas de sens.

    Ca a l'air de coller

  25. #20
    mx6

    Re : Racines complexes et coefficients

    L'autre contre exemple me parait faux, on a : et , donc

  26. #21
    ericcc

    Re : Racines complexes et coefficients

    ??? Pour la deuxième, q=2, donc q²=4, et p=3/2.
    De plus tu a écris que dans le cas d'un argument identique on avait q²=kp² ??

  27. #22
    mx6

    Re : Racines complexes et coefficients

    non q=kp² !!

  28. #23
    mx6

    Re : Racines complexes et coefficients

    Bonjour,

    Je veux juste dire que l'énoncé est JUSTE. J'ai réussi à le résoudre hier, le contre exemple d'erric est faux, car on a q=i , et p²=i/2, on prend t=1/2 et ca marche.

    Voilà bonne journée

  29. #24
    ericcc

    Re : Racines complexes et coefficients

    non q=kp² !!
    Ce n'est pas ce que tu as écris dans ton message N°13 :

    Citation Envoyé par mx6 Voir le message

    Il y aussi celle là aussi qui me pose problème :
    En tous cas si tes racines ont même argument, tu peux les écrire
    z1=r1eit et z2=r2eit

    Alors en utilisant les relations entre coefficients et racines d'un polynome :
    q = z1z2 = r1r2e2it
    -2p= z1+z2= (r1+r2)eit

    Donc p²= (r1+r2)²/4e2it et q/p²= 4r1r2/(r1+r2)²

    Cette dernière grandeur est toujours positive et plus petite que 1, je te laisse le démontrer

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