Racines complexes et coefficients

[invite9a322bed]

Bonjour,

Soit , tel que , et soient non nuls.
Soient et les deux racines complexes distinctes de .

Démontrer que .

J'ai démontré que , puis j'arrive à (si on suppose que c'est l'imaginaire pur
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[Seirios]

Bonjour,

Je trouve quelque chose de bizarre : Les racines s'expriment ; puis , d'où en multipliant la seconde équation par i puis en additionnant : , soit en élevant au carré et en simplifiant : , ce qui entraîne , ce qui ne correspond pas à la solution attendue...Je suppose qu'il y a une énorme erreur dans ce que j'ai écrit

[invite9a322bed]

On a pas le droit de mettre une racine carré à un complexe

[Seirios]

Je me croyais dans les réels

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9a322bed]

En faite, faut calculer sachant que . Puis on continue...

[invitea41c27c1]

(si on suppose que c'est l'imaginaire pur

Cette égalité + condition donne .

[invite9a322bed]

Oké merci, j'y avais pas pensé

[invite9a322bed]

Bonsoir,

Voici une autre question de la suite de l'exo :

Montrer que : .

Si on prend , j'arrive à .

Une aide svp

[invite9a322bed]

Un indice svp.....

[inviteaf1870ed]

Ca me parait faux en l'état : considère l'équation z²-2z+1+s², les racines sont 1+is et 1-is, qui ont donc même module. Cependant le rapport q/p=(1+s²)/2 de cette équation peut être rendu aussi grand que l'on veut.

Il doit y avoir des contraintes supplémentaires dans ton problème.

[invite9a322bed]

Je me suis trompé, on veut démontrer que c'est équivaut à : (j'ai oublié le carré) et bien sur

[inviteaf1870ed]

c'est p²=tq ou bien q²=tp ? Tu as écrit deux formules différentes.

De toutes façons si tu regardes l'équation que je te propose p²/q=4/(1+s²) peut être plus grand que 1 (s=0.1) et q²/p=(1+s²)/4 peut également être rendu plus grand que 1 (s=2).

Bref donne nous l'énoncé exact

[invite9a322bed]

L'énoncé est donné dans mon premier post. L'équivalence à démontrer est : .

Il y aussi celle là aussi qui me pose problème :

[inviteaf1870ed]

Ben ça me parait faux dans les deux cas. Pour le premier je t'ai donné le contre exemple.
POur le deuxième il suffit de prendre deux réels, par exemple z1=1 et z2=2, alors p=-3/2 et q=2 et p²=9/4, q²=4 puis q²/p²=16/9>1...

[invite9a322bed]

Je n'ai pas du tout compris tes contres exemples !

[invite9a322bed]

Donne moi une équation , avec ses solutions, sans le "s" ni aucune autre lettre !

[inviteaf1870ed]

pour la deuxième, regarde l'équation z²-3z+2

[inviteaf1870ed]

Pour le premier cas, je n'avais pas vu le facteur 2 sur p
regarde l'équation Z²-(1+i)Z+i, les racines sont 1 et i qui ont même module...

[invite9a322bed]

J'ai étudié la première :

.

On a et donc .

De plus .
Et on a : .
Comme , n'a pas de sens.

Ca a l'air de coller

[invite9a322bed]

L'autre contre exemple me parait faux, on a : et , donc

[inviteaf1870ed]

??? Pour la deuxième, q=2, donc q²=4, et p=3/2.
De plus tu a écris que dans le cas d'un argument identique on avait q²=kp² ??

[invite9a322bed]

non q=kp² !!

[invite9a322bed]

Bonjour,

Je veux juste dire que l'énoncé est JUSTE. J'ai réussi à le résoudre hier, le contre exemple d'erric est faux, car on a q=i , et p²=i/2, on prend t=1/2 et ca marche.

Voilà bonne journée

[inviteaf1870ed]

non q=kp² !!

Ce n'est pas ce que tu as écris dans ton message N°13 :

Il y aussi celle là aussi qui me pose problème :

En tous cas si tes racines ont même argument, tu peux les écrire
z1=r1e^it et z2=r2e^it

Alors en utilisant les relations entre coefficients et racines d'un polynome :
q = z1z2 = r1r2e^2it
-2p= z1+z2= (r1+r2)e^it

Donc p²= (r1+r2)²/4e^2it et q/p²= 4r1r2/(r1+r2)²

Cette dernière grandeur est toujours positive et plus petite que 1, je te laisse le démontrer