Une question de déterminant

[invitea41c27c1]

Bonjour,

Je voudrais démontrer le lemme suivant (si jamais c'est vrai):

"Soit entiers et anneau quelconque. On se donne matrices de taille et on suppose qu'elles commutent deux à deux. On note la matrice de taille dont les blocs sont les . Il sagit de montrer que
."


Voilà. J'arrive à le prouver pour en commençant par les matrices inversibles puis en utilisant la densité, mais pour un anneau quelconque je bloque.
Toute idée est bienvenue.
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[invitea41c27c1]

Refresh.

J'ai aussi une autre question étroitement liée.

Soit et une extension finie. Si est un endomorphisme -linéaire de , alors peut aussi être vu comme un endomorphisme -linéaire. Est-ce que on a :
?

[invite4ef352d8]

Si le résultat est prouvé pour A=C alors c'est terminé !

c'est ce qu'on appelle une identité algébrique : ta formule "si pour tous i,j,k,l MijMlk=MlkMij alors det U = produit des det ..." peut s'ecrire comme quelque chose de la forme :

"si P_1(a1..at)=0, P_2(a1..at)=0...P_m(a1..at)=0 alors Q(a1,...at)=0"

avec P_1...P_m et Q des polynomes à coeficient entier (les a1...at désignes les coeficients de U)

or (grâce au Nullstellensatz) ceci signifie que Q appartiens au nilradical de l'ideal engendré par les P_i : ie il existe n telle que Q^n = somme des v_i.P_i

la il me semble que par un argument de Base de Grobner on peut (parceque les P_i sont tous unitaire) faire en sorte que les v_i soit tous dans Z[X] (avec les algo de base de grobner on les obtiens par divisions euclidienne succesivent...).
la formule Q^n = somme des v_i.P_i est alors l'égalité de deux polynomes à coeficient dans Z, elle est donc vrai dans n'importe qu'elle anneau commutatif, et donc ton lemme aussi...


NB : il existe très probablement des preuves directe, mais je pense que l'argument d'identité algébrique est qqch à connaitre ^^

[invitea41c27c1]

"si P_1(a1..at)=0, P_2(a1..at)=0...P_m(a1..at)=0 alors Q(a1,...at)=0"

avec P_1...P_m et Q des polynomes à coeficient entier (les a1...at désignes les coeficients de U)

or (grâce au Nullstellensatz) ceci signifie que Q appartiens au nilradical de l'ideal engendré par les P_i : ie il existe n telle que Q^n = somme des v_i.P_i.

J'avais fait ce raisonnement jusque là, et justement c'est l'appartenance des v_i à Z[X] qui me posait problème. Mais je vais voir du coté de Grobner.

Merci.

[A voir en vidéo sur Futura]