Convergence de série

invite7ffabf31 · 08/09/2009, 21h14

Bonsoir à tous !
On vient d'aborder (depuis 4 h seulement) les séries réelles et complexes, et mis à part quelques questions d'ordre général pour avoir les idées au clair, je bloque sur certains exos ...

1)On est d'accord que la convergence du terme général de la série n'entraîne pas du tout la convergence de la série ?
2)La divergence du T.G entraîne par contre la divergence de la série, oui ?
3)Une série de T.G constant différent de zéro diverge bien ? Ce qui, par suite, implique que d'avoir obtenu un truc du style après un peu de recherches : $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ le terme général d'une série, n'apporte rien quant à la convergence de la série, c'est bien ça ?
Ca doit être tout pour les "questions" ...

Quant aux exos, je bloque sur ce problème (qui je pense est en fait très simple, mais vu ma nouveauté dans le domaine des séries m'est obscure) :
<Soit P et Q deux polynômes n'ayant aucun entier naturel comme racine. Quelle est la nature de la série de T.G $\text{[math]}$ ?>
J'ai d'abord dit que la suite existait bien puisqu'on avait pas 0 dans le logarithme, et j'ai ensuite précisé que pour $\text{[math]}$ convergeait, mais que $\text{[math]}$ divergeait sinon.
Donc la série diverge si les degrés sont différents, mais ... quid du cas où les degrés sont égaux ?

Un autre petit soucis que j'ai est avec cette suite :
$\text{[math]}$ qui est le terme général d'une série dont on me demande d'étudier la convergence ....
Comme précédemment, avec $\text{[math]}$ on peut dire que le T.G diverge donc que la série diverge, mais là encore, je ne trouve pas comment raisonner pour le cas où $\text{[math]}$ ? J'ai essayer -vainement- de faire un petit D.L de ce T.G pour y voir plus clair -> ça n'apporte rien à cause de la puissance $\text{[math]}$ .

Je vous remercie d'avance de votre aide !
Bonne soirée,
Kebur

invite899aa2b3 · 08/09/2009, 21h25

Bonsoir.
Je suis d'accord pour les questions.
Si les degrés sont égaux je crois qu'il faut en plus regarder s'ils ont le même coefficient dominant.
Pour la dernière, on peut essayer de faire un développement limité de $\text{[math]}$ dans un premier temps.
On trouve une truc du genre $\text{[math]}$ et tu dois pouvoir trouver celui du terme général à partir de là.

invite7ffabf31 · 08/09/2009, 21h48

Je suis soulagé pour les questions, merci !

Pour le D.L que vous proposez, Girdav, je crois qu'il manque un "e" en bas : $\text{[math]}$ ? Donc avec cette aide (merci !), j'obtiens en D.L du terme général la chose suivante :
$\text{[math]}$
Donc de là, est-ce que je peux conclure ainsi :
$\text{[math]}$
donc $\text{[math]}$ sont de même nature, c'est à dire que $\text{[math]}$ la série de T.G $\text{[math]}$ diverge ? C'est bon ?

Pour l'histoire des polynômes par contre, mon problème est -comme souvent d'ailleurs- que je ne sais pas passer de ce que je sais sur $\text{[math]}$ à ce que je peux dire sur la série ? Parce que, pour les polynômes de même degré, la suite $\text{[math]}$ converge. Bon. Mais je ne saisis pas le cheminement à faire pour aboutir à un résultat sur la série ?!

Merci encore !

invite899aa2b3 · 08/09/2009, 21h54

Merci de m'avoir signalé mon erreur: je ne peux plus éditer mon message donc elle restera à tout jamais!
Sinon on voit que les $\text{[math]}$ se suppriment, et la série est équivalente à $\text{[math]}$ (pour le coup je n'ai pas oublié le $\text{[math]}$ ) ce qui se ramène aux séries de Riemann.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite7ffabf31 · 08/09/2009, 22h03

OK merci beaucoup girdav ! J'avais continué le DL alors qu'on devait s'arrêter ... !

Pour mon histoire de polynômes par contre, quelqu'un aurait-il un indice sur le théorème ou la méthode à employer ... ? Je sèche !

Merci d'avance, et merci Girdav

invite899aa2b3 · 08/09/2009, 22h11

En fait par continuité du logarithme et de la valeur absolue, quand $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ont le même degré, le terme général tend vers $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont les coefficients dominants de respectivement $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . Il ne peut y avoir convergence que si $\text{[math]}$
Essaie d'écrire $\text{[math]}$ et regarde en fonction de ce que vaut $\text{[math]}$ la convergence la série.

invite7ffabf31 · 08/09/2009, 22h17

Les coefficients dominants dépendent de n ? Ce n'est pas ce que j'avais compris ... en effet, je me disais qu'on prenait deux polynômes P et Q dans K[X] et que la notation P(n) signifiait que l'on substituait à X, n dans P ?

Et puis il y a aussi un autre problème : pour décomposer le rapport comme tu le précises, il faudrait connaître les degrés de P et Q non ?

invite899aa2b3 · 08/09/2009, 22h28

Envoyé par Kebur

Les coefficients dominants dépendent de n ? Ce n'est pas ce que j'avais compris ... en effet, je me disais qu'on prenait deux polynômes P et Q dans K[X] et que la notation P(n) signifiait que l'on substituait à X, n dans P ?

Pardon, $\text{[math]}$ est utilisé deux fois. On peut noter le degré disons $\text{[math]}$

Envoyé par Kebur

Et puis il y a aussi un autre problème : pour décomposer le rapport comme tu le précises, il faudrait connaître les degrés de P et Q non ?

On peut noter $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .
Alors $\text{[math]}$

invite7ffabf31 · 08/09/2009, 22h36

[QUOTE=girdav;2539051]Pardon, $\text{[math]}$ est utilisé deux fois. On peut noter le degré disons $\text{[math]}$

Oui évidemment ... désolé pour ce que j'ai dit, je crois qu'il se fait tard !

Donc du coup, il faut dire que le rapport $\text{[math]}$ tend vers 1 quand n tend vers l'infini (puisque le deuxième morceau de la décomposition s'annule dans ce cas) mais j'ai envie de dire ... et alors ? Je crois qu'il y a vraiment quelque chose que je saisis pas dans le rapport entre T.G convergent vers une certaine limite et ce que l'on peut dire en ce qui concerne la convergence de la série ...

invite899aa2b3 · 08/09/2009, 22h58

[QUOTE=Kebur;2539068]

Envoyé par girdav

Je crois qu'il y a vraiment quelque chose que je saisis pas dans le rapport entre T.G convergent vers une certaine limite et ce que l'on peut dire en ce qui concerne la convergence de la série ...[/U]

En fait si la série converge, le terme général tend vers $\text{[math]}$ donc on déuit par contrapposition que si le terme général ne tend pas vers $\text{[math]}$ (a fortiori s'il n'admet pas de limite) il n'est pas question de convergence de la série. Donc on regarde les cas où le terme général est susceptible de tendre vers 0. Ici, il faut que le rapport $\text{[math]}$ tende vers $\text{[math]}$ en l'infini.
Ceci me fait rendre compte que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ peuvent très bien avoir des coefficient dominants de signe opposé.

invite7ffabf31 · 09/09/2009, 07h45

D'accord pour la contraposée, il me semble l'avoir déjà utilisée. Mais on ne peut pas dire que si $\text{[math]}$ tend vers 0, alors la série converge : ce n'est pas une condition suffisante, oui ?

Ici, dans le cas exploré où les degrés sont égaux, le rapport tend toujours vers 1 en l'infini puisque que la seconde partie de l'expression est le rapport d'un polynôme sur un polynôme de degré supérieur ?
Cela nous ne permet pas de conclure par contre quant à la nature de la série, donc il faut trouver un autre moyen ... On peut peut-être comparer avec une suite du type $\text{[math]}$ ?
Mis à part ça, je ne vois rien dans mon cours qui puisse m'aider ...

Merci beaucoup de ta patience et de ton aide, Girdav !

invite899aa2b3 · 09/09/2009, 09h13

Envoyé par Kebur

D'accord pour la contraposée, il me semble l'avoir déjà utilisée. Mais on ne peut pas dire que si $\text{[math]}$ tend vers 0, alors la série converge : ce n'est pas une condition suffisante, oui ?

Et non, prends par exemple $\text{[math]}$ Le terme général tend vers $\text{[math]}$ mais on peut montrer que la série est divergente.

Ici, dans le cas exploré où les degrés sont égaux, le rapport tend toujours vers 1 en l'infini puisque que la seconde partie de l'expression est le rapport d'un polynôme sur un polynôme de degré supérieur ?
Cela nous ne permet pas de conclure par contre quant à la nature de la série, donc il faut trouver un autre moyen ... On peut peut-être comparer avec une suite du type $\text{[math]}$ ?
Mis à part ça, je ne vois rien dans mon cours qui puisse m'aider ...

En fait dans le cas où les coefficients dominants sont les mêmes on a $\text{[math]}$
Si $\text{[math]}$ il y a convergence car le terme général est équivalent au moins à $\text{[math]}$ .

invite7ffabf31 · 09/09/2009, 12h39

Ok j'ai compris le pourquoi de la décomposition du rapport ! Il ne reste plus qu'a conclure en fonction des coefficients des deux polynômes!!

Un grand merci a toi girdav pour ton aide

Convergence de série