Ô racine! Quand tu deviens infinie.

[invitebc03040e]

Bonjour,

Avez-vous des idées pour trouver les fonctions vérifiant l'équation suivante:



Cordialement,
-----

[invite899aa2b3]

Bonjour.
Tu peux élever au carré, simplifier et poser .

[invitebc03040e]

Salut girdav,

Si tu élève au carré et que tu simplifie tu tombe sur la superbe relation:



Merci quand même, d'autres idées?

[inviteaf1870ed]

Donc c'est une identité, mais uniquement dans le domaine où les racines sont définies
A moins que R(q) soit complexe ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebc03040e]

Re-Bonjour,

En fait R(q) peut être réelle ou complexe (à condition de bien définir la racine carrée dans le dernier cas). Ce que je cherche c'est une expression de R(q).

Cordialement,

[invite899aa2b3]

Salut girdav,

Si tu élève au carré et que tu simplifie tu tombe sur la superbe relation:



Merci quand même, d'autres idées?

Erreur de calcul, je croyais que ça s'arrangeait. Sinon on a donc je ne sais pas si poser nous fais avancer.

[invitebc03040e]

Salut tout le monde,

Comme l'a fait remarquer ericcc l'équation que j'ai ecrit n'est qu'une simple égalité pour . Elle permet entre autre de dire que:





Je suis arrivé a cette relation en étudiant la fonction suivante:



Si vous découvrez des propriétés particulières de cette fonction n'hésitez pas.

Cordialement,

[invite9a322bed]

Cela me fait penser aux nombres quadratiques ^^

[invite4ef352d8]

euh... y à un petit problème dans ton équation : elle dépend pas de q...

donc en gros il s'agit de trouver qu'elles sont les x solutions de cette équations, et R(q) peut etre n'importe qu'elle fonction à valeur dans cette ensemble solution...

[invitebc03040e]

Salut,

j'ai mal posé mon problème:

la relation est vraie pour tout

Donc qu'on apelle la variable x ou R(q) ça n'a pas d'importance (ce que j'avais completement zappé )

En fait la fonction que j'étudie est celle que j'ai définie plus haut et apparement on a pour tout q, .
Il faut donc oublier cette relation même si elle permet d'écrire de jolies relations.
Ce que je cherche ce sont des propriétés de cette fonction.
Par exemple on a:

(ça c'est facile!)
Peut-on écrire R(2) de la même manière?

Cordialement,

[inviteaf1870ed]

Peut etre me trompeje, mais si je prends ta définition de R(q), on a :

ça te donne des équations de degré 4, que tu peux résoudre pour chaque valeur de q.

[invitebc03040e]

Salut ericcc,

je crois que tu te trompes:

[invitebc03040e]

dsl erreur de frappe

[invitebc03040e]

Donc





Other Ideas

[inviteaf1870ed]

Donc





Other Ideas

Ah vii,

je crois que Ramanujan avait regardé une série comme cela, mais je n'ai pas de référence

[invitebc03040e]

Re-salut,

C'est en lisant Ramanujan que m'est venu ce probleme. Je ne sais pas si Ramanujan a étudié cette fonction mais il a écrit un bon nombre de formules faisant intervenir les racines continues! Comme par exemple:



Je dois avouer que l'étude de cette fonction commence a m'agacer!


Cordialement,

[Médiat]

Si vous découvrez des propriétés particulières de cette fonction n'hésitez pas.

Bonjour,

J'ai trouvé deux choses relativement triviales :



Et une, peut-être un peu moins :

Pour n "assez" grand, en posant :

Alors

[Médiat]

Pour n "assez" grand, en posant :

Alors

Ooops, j'ai oublié une hypothèse essentielle :


Pour n "assez" grand, en posant :


Alors, si q > 1

[Médiat]

Ooops, j'ai oublié une hypothèse essentielle :


Pour n "assez" grand, en posant :


Alors, si q > 1

Décidément ce n'était pas mon jour ; à force de ré-écrire sans arrêt sur le même brouillon, j'ai mélangé plusieurs tentatives, il fallait lire depuis le début :

Pour n "assez" grand, en posant :


Alors, si q > 1

[Médiat]

Si }{uman ne se manifeste pas je vais arréter de flooder ...

Je complète donc :
Pour n "assez" grand, en posant :


Si q > 1
Si q < 1

Pour q = 1, }{uman a déjà fait le calcul.

[invitebc03040e]

Bonjour Mediat,

Merci pour tes réponses. Pourrais-tu donner un peu plus de détail? Comment es tu arrivé à ces relations?

Je pense que ces racines cachent beaucoup de secrets ou du moins possèdent de très belles propriétés. Ces racines continues me fascinent. J'ai commencé à écrire un papier conçernant les critères de convergence dans lequel j'applique un critère donné par Pòlya et Szegö. J'ai aussi évaluer explicitement certaines d'entre elles.
Par exemple:




Cordialement, }{uman

[Médiat]

Bonjour }{uman,

Merci pour tes réponses. Pourrais-tu donner un peu plus de détail? Comment es tu arrivé à ces relations?

Poser (relation (1)) est relativement naturel puisque cela correspond à la définition de R, le reste est tout simple : que soit de l'ordre de est aussi naturel (les autres termes sont plus petits), j'ai posé , et reporté dans la relation (1), puis chercher pour que les termes de plus haut degré s'annulent (il y a égalité pour q = 4, ce qui explique le résultat R(4) = 2.

J'ai fait la même chose avec q < 1 ; j'ai cherché de la forme (le 1 s'impose puisqu'il correspond à la racine pour que les termes de plus bas degré s'annulent.