Théorème d'incomplétude

[invitef8661968]

Bonjour bonsoir!

Déjà j'aimerais que quelqu'un qui s'y connait me dise si l'article de Wikipédia dessus est bien s.v.p !

Ensuite Il me semble avoir lu quelque part et il y a peu de temps (désolé j'ai réfléchis mais impossible de me rappeler où!) que ce théorème dit qu'aucune théorie mathématique ne peut tout démontrer (jusque là tout va bien il me semble) même si le nombre d'axiomes d'une théorie était infini ...
Or je viens de lire dans un article d'Alain Connes de "Les dossiers de la recherche" n°20 d'aout 2005, un exemple de ce qui était pour lui le T. de G. : "D'une certaine manière, quand on fait des raisonnements logique a l'intérieur d'un système d'axiome c'est comme si l'on était au tribunal. il y a les pièces a conviction : ce sont les axiomes. La déductions logique s'opère a partir de ces axiomes. Si certains faits sont démontrables a l'intérieur du tribunal ils sont automatiquement vrai. mais l'inverse n'est pas vrai, il se peut qu'un fait soit vrai sans être démontrable a l'intérieur du tribunal." de plus il dit après comme exemple de proposition mathématique existentielle: "il existe un entier n pair qui n'est pas la somme de deux nombres premiers. C'est l'inverse d'une proposition universelle. Or un théorème dit : si une proposition existentielle est vraie, elle est démontrable. Mais la réciproque est fausse. C'est la première chose
que nous apprend le théorème de Godel : il faut distinguer entre ce qui est dénombrable au tribunal, dans le système déductif dans lequel on travaille, et la réalité. " (sous entendu on peut pas tout démontrer dans le tribunal, ce qui n'est pas le cas dans la réalité).

Donc Connes dit ici que si l'on prend la réalité (l'extérieur + l'intérieur du tribunal dans l'exemple), c'est à dire tous les axiomes, on peut tout démontrer, c'est à dire avoir une théorie mathématique, basée sur une infinité d'axiome, qui englobe toutes les autres.

Alors voilà, qui a raison sur le théorème de Gödel?

Merci d'avance!
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[Médiat]

Déjà j'aimerais que quelqu'un qui s'y connait me dise si l'article de Wikipédia dessus est bien s.v.p !

De mémoire il est plutôt pas mal.

ce théorème dit qu'aucune théorie mathématique ne peut tout démontrer (jusque là tout va bien il me semble) même si le nombre d'axiomes d'une théorie était infini ...

Non, les conditions d'applications du théorème sont beaucoup plus restictives que cela.

que nous apprend le théorème de Godel : il faut distinguer entre ce qui est dénombrable au tribunal, dans le système déductif dans lequel on travaille, et la réalité. " (sous entendu on peut pas tout démontrer dans le tribunal, ce qui n'est pas le cas dans la réalité).

Connes est un Platonicien (ce qui n'est pas mon cas), mais pas intégriste, malheureusement il utilise un vocabulaire (vraie, vérité etc.) qu'il faut comprendre de façon très restrictive, pour Connes une proposition d'arithmétique "vraie" est une proposition "vraie" dans le modèle standard.

Alors voilà, qui a raison sur le théorème de Gödel?

Connes n'a pas tort, mais son vocabulaire crée de l'ambiguité (la preuve), et je lutte tous les jours contre ce vocabulaire sur ce forum en particulier.

[invite4ef352d8]

En réfléchisant à ce que disait AImericB je me suis mis à avoir un doute...

enfait, je suis pas sur de savoir ou est l'erreur dans le raisonement suivant (qui est pas mal liée au problème qu'il pose) :

on utilise le language de l'arithmétique, et on considère la théorie formé de toutes les propositions qui sont vrai dans le modèle standard. cette théorie est cohérente (puisque le modèle standard en est un modèle), elle contiens peano, donc on peut lui appliquer le th d'incomplétude de Godel, mais pourtant toute proposition est soit vrai soit fausses dans cette théorie donc je vois mal comment il pourrait y avoir un indécidable la dedans...

[Médiat]

on utilise le language de l'arithmétique, et on considère la théorie formé de toutes les propositions qui sont vrai dans le modèle standard. cette théorie est cohérente (puisque le modèle standard en est un modèle), elle contiens peano, donc on peut lui appliquer le th d'incomplétude de Godel, mais pourtant toute proposition est soit vrai soit fausses dans cette théorie donc je vois mal comment il pourrait y avoir un indécidable la dedans...

Tu as parfaitement raison, il n'y a pas d'indécidables dans cette théorie.

Seulement cette théorie viole une des conditions d'application du théorème de Gödel : elle n'est pas récursivement axiomatisable, donc pas de lézard, et pas de contradiction avec le théorème d'incomplétude de Gödel.

Voila un exemple qui explique pourquoi je réagis toujours quand je vois le théorème de Gödel mal cité (voir dans le forum Epistémologie, il y a peu, par exemple : http://forums.futura-sciences.com/ep...ml#post2538269), histoire de lui faire dire ce que l'on a envie qu'il dise.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef8661968]

"Non, les conditions d'applications du théorème sont beaucoup plus restictives que cela." Pourtant je vous assure que j'ai lu ou vu ça quelque part... C'est très enervant de ne pas se rappellé où... Ca disait que même si on faisait tendre le nombre d'axiome vers infinie, il resterait toujours des propositions indémontrables...

"toutes les propositions qui sont vrai dans le modèle standard" pouvez vous m'expliquez ça svp? Une proposition est ici un axiome? Et qu'es ce que le model standard des mathématiques svp? Je n'ai pas trouver sur internet.

Sinon Médiat vous avez dit ceci dans la conversation cité:"
je connais personnellement des théories (et même plein) n'ayant aucune proposition indécidable." Pourvez vous m'expliquez comment s'affranchir des menteurs qui prétendent mentirs ? =) svp.

Et es ce que des théories mathématiques peuvent ainsi englobées toutes les autres sans avoir de propositions indemontrables dans ce cas?? Et si oui, en existent-ils?

Merci

[invitef8661968]

Autre question : "Au XXe siècle, le théorème d'incomplétude de Gödel prouve qu'aucune liste explicite d'axiomes suffisante pour déduire le principe de récurrence sur les entiers ne pourrait être à la fois complète (chaque proposition peut être démontrée ou réfutée à l'intérieur du système) et consistante (aucune proposition ne peut être à la fois démontrée et réfutée)." (Cf wikipedia sur les Axiomes).
Déjà es ce exacte? Et ensuite es ce qu'on parle ici de l'axiome que je viens d'apprendre en cours qui est : si p0 est vrai (i) et pn vraie => pn+1 (ii) vraie alors d'apres i et ii, pn est vraie pour tout n naturelle ?

Merci

[invitef8661968]

Dernière petite question : comment savoir qu'une proposition est vraie si on ne la pas démontrer (parce qu'elle est indemontrable... ou parce qu'on avait autre chose a faire^^) ? Par exemple la proposition (que j'ai eu en exercices y a pas longtemps) : n! >= 2^(n-1)

comment savoir sans le démontrer pour tout n naturel elle est vraie? Ca me parait pas très faisable... A moins de passer dans un "métalangage" (d'après le site "http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Logique/Incompl.htm") qui permette de le démontrer (en faisant comme si la proposition du début était indécidable dans l'axiomatique de Peano ). Mais encore faut-il trouver un tel métalangage... Donc comment faire pour trouver le métalangage qui sera approprié? par tatonnement? intuition?

Merci et bonne soirée

[invite4ef352d8]

"elle n'est pas récursivement axiomatisable">>> c'est curieux, j'ai vu le th d'imcomplétude de godel en licence et j'avais aucun souvenir de cette hypothèse, ceci dit je me doutais bien que c'était dans l'application du th de godel que ce cachait l'erreur... enfin ca commence à dater donc ca doit être normale, faudrat que je m'y replonge un de ces jours...


""toutes les propositions qui sont vrai dans le modèle standard" pouvez vous m'expliquez ça svp? Une proposition est ici un axiome? Et qu'es ce que le model standard des mathématiques svp? Je n'ai pas trouver sur internet.">>> oui je peut expliquer : je peux décider de prendre comme système d'axiome pour l'aritmétique toute les propositions qui sont vrai dans "le modèle standard de l'arithmétique". le modèle standard de l'arithmétique c'est les entier naturel que tu as l'habitude de manipuler tous les jours et qu'on est capable de définir dans la théorie des ensembles.

la théorie ainsi défini est cohérente (non contradictoire) car elle admet un modèle. et une proposition ne peut pas etre indécidable dedans, puisque pour savoir si qqch est vrai dans cette théorie il "suffit" de regarder si c'est vrai pour nos bon vieux entier naturel. en revanche, (et ca peut paraitre étonant) cette théorie admet d'autres modèle que le modèle standard...



pour ce qui est du "Pourtant je vous assure que j'ai lu..." je te crois volontier : on trouve dans des ouvrage de vulgarisation beaucoup de choses très inexacte voir franchement fausses sur le th de Godel... pour faire simple : toute tentative d'interprétation philosophique de ce théorème est systématiquement éronée, son énoncé réel est trop complexe pour être assimiler par un non spécialiste (personellement, j'en connais juste assez sur le domaine pour me rendre compte de ca... comme tu peux le voir dans mon post précedant, j'ai encore bessoin qu'on m'éclaire sur sens réel ^^ )

[Médiat]

Bonjour,

(Je ne parle, comme d'habitude que de logique du premier ordre)

Je ne reprends pas les point auxquels Ksilver a répondu, mais je veux insister, néanmoins sur un point : le théorème de Gödel est sans doute le théorème le plus connu, de nom, hors des logiciens, et en même temps le plus mal connu du point de vue de son énoncé et de sa signification ; j'ajoute qu'un autre théorème de Gödel est, selon moi, bien plus fondamental : le théorème de complétude (qui dit que toutes les propositions "vraies" dans tous les modèles (et je ne vois pas quel autre définition de "vraie" on peut donner) sont démontrables et vice-versa, en logique du premier ordre)

"toutes les propositions qui sont vrai dans le modèle standard" pouvez vous m'expliquez ça svp? Une proposition est ici un axiome? Et qu'es ce que le model standard des mathématiques svp? Je n'ai pas trouver sur internet.

Une proposition est un énoncé, une formule, et je parlais, comme l'a expliqué Ksilver du modèle standard de l'arithmétique (dont on pourra reparlé à propos de formule existentielle ou universelle).

Sinon Médiat vous avez dit ceci dans la conversation cité:"
je connais personnellement des théories (et même plein) n'ayant aucune proposition indécidable." Pourvez vous m'expliquez comment s'affranchir des menteurs qui prétendent mentirs ? =) svp.

Merci de poser la question, contrairement à d'aucuns qui se contentent de prétendre que ce n'est pas vrai .

Il y a l'exemple donné par Ksilver, généralisable à tous les modèles de toutes les théories, mais aussi des exemples plus simples :
1) la théorie des ordres totaux denses sans extremums
2) la théorie des corps algébriquement clos de carctéristique donnée
3) la théorie des corps réels clos
4) toutes les théories complètes ayant des modèles finis (et du coup elles n'en ont qu'un)
etc.

Et es ce que des théories mathématiques peuvent ainsi englobées toutes les autres sans avoir de propositions indemontrables dans ce cas?? Et si oui, en existent-ils?

Si on veut avoir une théorie récusrivement axiomatisable (sinon on a du mal à en donner les axiomes), alors la réponse est non, puisqu'une telle théorie doit permettre de formaliser l'arithmétique, et là le théorème d'incomplétude de Gödel s'applique.

Autre question : "Au XXe siècle, le théorème d'incomplétude de Gödel prouve qu'aucune liste explicite d'axiomes suffisante pour déduire le principe de récurrence sur les entiers ne pourrait être à la fois complète (chaque proposition peut être démontrée ou réfutée à l'intérieur du système) et consistante (aucune proposition ne peut être à la fois démontrée et réfutée)." (Cf wikipedia sur les Axiomes).
Déjà es ce exacte? Et ensuite es ce qu'on parle ici de l'axiome que je viens d'apprendre en cours qui est : si p0 est vrai (i) et pn vraie => pn+1 (ii) vraie alors d'apres i et ii, pn est vraie pour tout n naturelle ?

Pour moi, ceci est faux : l'arithmétique de Presburger est un contre-exemple.

La récurrence n'est pas un axiome, mais un schéma d'axiome, donc exprimée comme ci-dessus, le schéma est trop mal défini pour avoir du sens.

Dernière petite question : comment savoir qu'une proposition est vraie si on ne la pas démontrer (parce qu'elle est indemontrable... ou parce qu'on avait autre chose a faire^^) ? Par exemple la proposition (que j'ai eu en exercices y a pas longtemps) : n! >= 2^(n-1)

comment savoir sans le démontrer pour tout n naturel elle est vraie? Ca me parait pas très faisable... A moins de passer dans un "métalangage" (d'après le site "http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Logique/Incompl.htm") qui permette de le démontrer (en faisant comme si la proposition du début était indécidable dans l'axiomatique de Peano ). Mais encore faut-il trouver un tel métalangage... Donc comment faire pour trouver le métalangage qui sera approprié? par tatonnement? intuition?

Je ne comprends pas bien la question ... (le site de Villemin est très confus et mélange plusieurs choses, on pourra en reparler)

[Médiat]

Je reviens un peu sur la notion de métalangage, cette notion apparaît sur le site de Villemin dans le paragraphe sur le paradoxe de Russell.
Effectivement cette notion permet de lever le paradoxe, dans le cadre des langages naturels, et cette résolution est elle-même assez naturelle, il paraît "normal" que le langage qui parle du langage ne soit pas le même que le langage qui parle "du monde", on peut le mettre en évidence de la façon suivante :
Soit la phrase "Mon chat aime le lait", cette phrase ne contient aucune métaphore et aucun gallicisme, si je demande à un site de traduction automatique (babel fish) de me la traduite en anglais, j'obtiens : "My cat likes milk", il y a bien identité de sens entre les deux phrases.
Soit la phrase "Chat est un mot de quatre lettres", cette phrase ne contient aucune métaphore et aucun gallicisme, la traduction donne "Cat is a word of four letters" qui est évidemment faux.
La notion de métalangage est donc parfaitement adaptée à ce cas.

En mathématiques, Russell lui-même a développé une théorie des types sur le même schéma, mais cette théorie est, à ma connaissance complètement abandonnée au profit du -calcul et de la théorie axiomatique des ensembles (ZF).
Attention à deux pièges :
1) le mot type a aujourd'hui en logique mathématique un tout autre sens
2) le paradoxe de Russell est résolu dans la théorie des ensembles par l'axiome de compréhension (et non par l'axiome de fondation).

[invitef8661968]

"on pourra reparlé à propos de formule existentielle ou universelle" / "le théorème de complétude (qui dit que toutes les propositions "vraies" dans tous les modèles (et je ne vois pas quel autre définition de "vraie" on peut donner) sont démontrables et vice-versa, en logique du premier ordre)" --> Il y a justement écrit dans l'article de A. Connes " or un théorème fondamental de la logique est que, si une proposition universelle est démontrable, elle est vraie. Mais la récoproque est fausse [...]. Or un théorème dit si une proposition existentielle est vraie, elle est démontrable. Mais la réciproque est fausse. ". Donc il y a contradiction... A moins que l'erreur viennent de mon ignorance sur ce qu'est la logique de premier ordre... Mais Connes a l'air de dire que ces théorèmes sont toujours vraies (donc même en logique de premier ordre)... Bref je ne comprends pas et si vous pouviez me donné quelques explications sur cette apparentes contradictions ce ne serait pas de refus! Et de même pour ce que sont les "ordres" en logique!

"Il y a l'exemple donné par Ksilver, généralisable à tous les modèles de toutes les théories, mais aussi des exemples plus simples :
1) la théorie des ordres totaux denses sans extremums
2) la théorie des corps algébriquement clos de carctéristique donnée
3) la théorie des corps réels clos
4) toutes les théories complètes ayant des modèles finis (et du coup elles n'en ont qu'un)"
"Si on veut avoir une théorie récusrivement axiomatisable (sinon on a du mal à en donner les axiomes), alors la réponse est non, puisqu'une telle théorie doit permettre de formaliser l'arithmétique, et là le théorème d'incomplétude de Gödel s'applique"
Donc ces théorie que vous citez ne sont pas récursivement axiomatisable? "on a du mal à en donner les axiomes", comment fait-on donc? Et ces théorie ne formalise pas l'arithmétique?

"La récurrence n'est pas un axiome, mais un schéma d'axiome, donc exprimée comme ci-dessus, le schéma est trop mal défini pour avoir du sens" Qu'es ce qu'un schémas d'axiomes svp? Et qu'entendez vous par mal définie? Que mon prof fait mal son boulot?? =D (au cas où: je plaisante bien sûr)

{AAA} "Je ne comprends pas bien la question ... " Dans l'idée du " propositions vraies mais non démontrables" Et bien comment faire pour savoir que cette proposition est justement vraie si on n'a justement pas démontrer cette véracité ? Par exemple : L'hypothèse de Riemann; les chercheurs cherchent à la démontrer pour savoir si elle est vraie ou fausse. C'est ça que je veut dire ^^. Il me semble qu'avant de la démontrer, on ne peut savoir si elle est vraie ou fausse!

Et admettons qu'on ne peut pas la démontrer à partir de l'axiomatique avec laquelle les chercheurs cherchent sa véracité ou sa fausseté, comment le sauraient-ils que cette proposition est indémontrable dans cette axiomatique et démontrable dans une autre? (j'imagine que l'exemple de l'hypothese de Riemann est mal choisie mais l'idée est là). Et le fait qu'une proposition soit vraie dans une axiomatique, pourquoi cela voudrait-il dire que cette proposition soit vraie dans une autre??

par exemple (donné par Connes) l'histoire du lièvre et de la tortue: la proposition est indémontrable dans l'axiomatique de Peano. Donc déjà pourquoi Connes affirme qu'elle est vraie? (je demande ça dans la même raisonnement que ma question {AAA} ). Je pense que c'est parce que dans une autre axiomatique elle l'est, mais pourquoi sa véracité dans l'une devrait impliqué sa véracité dans une autre différente? Et donc puisqu'elle est indémontrable, comment le savoir? (savoir que cette une proposition indémontrable et pas juste un manque de compétence du mathématicien ^^ ?). Et comment savoir "où", dans quelle axiomatique la transposée pour quelle le soit????

[[[[[ le "métalangage" (c'est bien le fait de partir d'une axiomatique dans laquelle la proposition est indémontrable pour aller vers une axiomatique ou elle l'est?) ]]]]]


Merci beaucoup (beaucoup ^^ ) pour vos réponses!

[Médiat]

Il y a justement écrit dans l'article de A. Connes " or un théorème fondamental de la logique est que, si une proposition universelle est démontrable, elle est vraie. Mais la récoproque est fausse [...]. Or un théorème dit si une proposition existentielle est vraie, elle est démontrable. Mais la réciproque est fausse. ". Donc il y a contradiction... A moins que l'erreur viennent de mon ignorance sur ce qu'est la logique de premier ordre... Mais Connes a l'air de dire que ces théorèmes sont toujours vraies (donc même en logique de premier ordre)... Bref je ne comprends pas et si vous pouviez me donné quelques explications sur cette apparentes contradictions ce ne serait pas de refus!

J'aimerais bien avoir la référence de l'article de Connes, car tout cela me paraît bien confus.

Et de même pour ce que sont les "ordres" en logique!

Logique du premier ordre : les quantificateurs portent exclusivement sur des variables qui représentent des éléments de l'univers, alors que la logique du deuxième ordre permet de quantifier sur des sous-ensembles.

Donc ces théorie que vous citez ne sont pas récursivement axiomatisable? "on a du mal à en donner les axiomes", comment fait-on donc? Et ces théorie ne formalise pas l'arithmétique?

L'exemple de Ksilver est une théorie qui n'est pas récursivement axiomatisable, les autres exemples que j'ai donné ne permettent pas de formaliser l'arithmétique.

"La récurrence n'est pas un axiome, mais un schéma d'axiome, donc exprimée comme ci-dessus, le schéma est trop mal défini pour avoir du sens" Qu'es ce qu'un schémas d'axiomes svp? Et qu'entendez vous par mal définie? Que mon prof fait mal son boulot?? =D (au cas où: je plaisante bien sûr)

Un schéma d'axiomes est un ensemble d'axiomes donné par un "schéma" qui permet de les générer, par exemple pour la récurrence, il est absolument nécessaire de préciser ce que sont les propriétés p avec lesquelles on contruit les axiomes (par exemple toutes les formules du langage L(...), en remplaçant les ... par les éléments du langage ; mais si on ne connait pas cet ensemble, le schéma est mal voire non défini.

Dans l'idée du " propositions vraies mais non démontrables" Et bien comment faire pour savoir que cette proposition est justement vraie si on n'a justement pas démontrer cette véracité ? Par exemple : L'hypothèse de Riemann; les chercheurs cherchent à la démontrer pour savoir si elle est vraie ou fausse. C'est ça que je veut dire ^^. Il me semble qu'avant de la démontrer, on ne peut savoir si elle est vraie ou fausse!

Merci d'illustrer encore le bien-fondé de ma lutte contre ce vocabulaire ; comme je le disais, pour un platonicien comme Connes, "vrai" veut dire "vrai dans le modèle standard", et le théorème d'incomplétude ne fait que dire que de tels énoncés existent. Tu peux regarder là pour avoir plus d'information sur les énoncés existentiels ou universels : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post1980944

Et admettons qu'on ne peut pas la démontrer à partir de l'axiomatique avec laquelle les chercheurs cherchent sa véracité ou sa fausseté, comment le sauraient-ils que cette proposition est indémontrable dans cette axiomatique et démontrable dans une autre?

Par exemple en exhibant un modèle où elle est "vraie" et un où elle est "fausse", par exemple l'existence de groupes abéliens et de groupes non abélien, démontre que la commutativité est indécidable dans la théorie des groupes.

Et le fait qu'une proposition soit vraie dans une axiomatique, pourquoi cela voudrait-il dire que cette proposition soit vraie dans une autre??

Je ne comprends pas, un énoncé peut être démontrable dans une théorie et pas dans une autre (sur le même langage).

par exemple (donné par Connes) l'histoire du lièvre et de la tortue: la proposition est indémontrable dans l'axiomatique de Peano.

Est-ce qu'il s'agit des suites de Goodstein ?

Donc déjà pourquoi Connes affirme qu'elle est vraie? (je demande ça dans la même raisonnement que ma question {AAA} ). Je pense que c'est parce que dans une autre axiomatique elle l'est, mais pourquoi sa véracité dans l'une devrait impliqué sa véracité dans une autre différente? Et donc puisqu'elle est indémontrable, comment le savoir? (savoir que cette une proposition indémontrable et pas juste un manque de compétence du mathématicien ^^ ?). Et comment savoir "où", dans quelle axiomatique la transposée pour quelle le soit????

Sans avoir de détails sur l'article de Connes, je peux très bien dire que des Connes-ries (désolé, mais je n'avais pas le choix ) : S'il il s'agit d'une propriété purement universelle, si elle est indécidable dans l'arithmétique de Peano, alors il existe des modèles où elle est vraie, or le modèle standard est un segment initial de tous les modèles, et ce qui est vrai pour tous les élément de l'ensemble est vrai pour tous les éléments de l'un de ses sous-ensembles (encore une fois je réprouve cette habitude de dire vrai, comme raccourci de "vrai dans le modèle standard") ; c'est peut-cela à quoi tu fais allusion dans le premier paragraphe...

[[[[[ le "métalangage" (c'est bien le fait de partir d'une axiomatique dans laquelle la proposition est indémontrable pour aller vers une axiomatique ou elle l'est?) ]]]]]

Pour moi un métalangage est un langage qui permet de parler du langage

[invitef8661968]

Bonsoir et merci de tes réponses si rapides! L'article d'Alain Connes est le suivant : <<un article d'Alain Connes de "Les dossiers de la recherche" n°20 d'aout 2005>> !

[invitef8661968]

"les autres exemples que j'ai donné ne permettent pas de formaliser l'arithmétique" --> sur quoi porte donc ces théories??? Et qu'es ce que cela change de formalisé ou pas l'arithmétique dans une théorie? J'ai lu dans La Logique des bibliothèque Tangente (ou peut etre dans origine des nombres et du calcules de Sciences et Vie... je ne les ai pas sous la main) que la théorie de la logique avait été crée par l'idée de Hilbert dans le but de levé certains paradoxes grâce à une "arithmétisation" de la logique. Ce qu'avait reussi à faire Godel d'apres ce magazine... cad une sorte de codage (mot employé si je me souviens bien) entre l'arithmétique et la logique. Mais donc si une théorie ne formalise pas l'arithmétique, en reste-t-elle pour autant rigouresement logique???


"le modèle standard est un segment initial de tous les modèles" désolé mais je ne comprends toujours pas exactement ce que ça signifie....

Et de plus pourquoi une proposition vraie dans le model standart le serait ailleurs ? "Je ne comprends pas, un énoncé peut être démontrable dans une théorie et pas dans une autre (sur le même langage).". Je dis ça parce que Connes dans son article qualifiait le probleme du lievre et de la tortue de "vraie mais non démontrable". Mais donc si j'ai bien compris il dit précisement: vraie dans le model standard et non démontrable dans l'arthimétique de Peano? Mais donc qu'es ce que c'est exactement que ce model standart??? Quelles sont ses axiomes??


"Un schéma d'axiomes est un ensemble d'axiomes donné par un "schéma" qui permet de les générer, par exemple pour la récurrence, il est absolument nécessaire de préciser ce que sont les propriétés p avec lesquelles on contruit les axiomes (par exemple toutes les formules du langage L(...), en remplaçant les ... par les éléments du langage ; mais si on ne connait pas cet ensemble, le schéma est mal voire non défini." Grâce à es proproétés, on déduit des axiomes?? Ca ne ce fait pas dans l'autre sens d'habitude(avec un ensemble d'axiome on déduit des propriétés?? J'ai l'impression là que le "schéma"est encore plus fondamentale que les axiomes.... ^^

"Est-ce qu'il s'agit des suites de Goodstein ?" vu ce que je lis sur ces suites sur wikipedia, oui ça à beaucoup l'air d'être ça! L'histoire du lièvre que écrit 9 en base 2 puis qui change tous les 2 en 3 et la tortue qui enlève 1, etc etc ^^

[Médiat]

<<un article d'Alain Connes de "Les dossiers de la recherche" n°20 d'aout 2005>> !

Je n'en dispose pas.

"les autres exemples que j'ai donné ne permettent pas de formaliser l'arithmétique" --> sur quoi porte donc ces théories??? Et qu'es ce que cela change de formalisé ou pas l'arithmétique dans une théorie? J'ai lu dans La Logique des bibliothèque Tangente (ou peut etre dans origine des nombres et du calcules de Sciences et Vie... je ne les ai pas sous la main) que la théorie de la logique avait été crée par l'idée de Hilbert dans le but de levé certains paradoxes grâce à une "arithmétisation" de la logique. Ce qu'avait reussi à faire Godel d'apres ce magazine... cad une sorte de codage (mot employé si je me souviens bien) entre l'arithmétique et la logique.

Je pense que la logique est plus ancienne que cela puisqu'on peut la faire remonter à Aristote, il y a 2300 ans.

Mais donc si une théorie ne formalise pas l'arithmétique, en reste-t-elle pour autant rigouresement logique???

Bien sur !

"le modèle standard est un segment initial de tous les modèles" désolé mais je ne comprends toujours pas exactement ce que ça signifie....

Pour le dire plus simplement (et avec abus de langage), le modèle standard de l'arithmétique est "inclus" dans tous les modèles.

Et de plus pourquoi une proposition vraie dans le model standart le serait ailleurs ?

Pas toutes les propositions, mais les propositions existentielles, oui (Si un élément vérifie une propriété sans quantificateur, cet élément va se retrouver "dans" tous les modèles (au travers d'isomorphismes), donc tous les modèles vérifieront qu'il existe)

"Je ne comprends pas, un énoncé peut être démontrable dans une théorie et pas dans une autre (sur le même langage).". Je dis ça parce que Connes dans son article qualifiait le probleme du lievre et de la tortue de "vraie mais non démontrable". Mais donc si j'ai bien compris il dit précisement: vraie dans le model standard et non démontrable dans l'arthimétique de Peano?

C'est exactement comme cela que je dirais les choses, ce qui a l'énorme avantage de ne pas être ambigu, et l'énorme désavantage aux yeux de certains (mais pas des miens) de nécessiter des explications et d'être moins spectaculaire.

Mais donc qu'es ce que c'est exactement que ce model standart??? Quelles sont ses axiomes??

le modèle standard de l'arithmétique c'est les entier naturel que tu as l'habitude de manipuler tous les jours

Il n'est pas possible de donner des axiomes de façon récursive qui pourrait définir IN, c'est le théorème d'incomplétude de Gödel qui le dit.

"Un schéma d'axiomes est un ensemble d'axiomes donné par un "schéma" qui permet de les générer, par exemple pour la récurrence, il est absolument nécessaire de préciser ce que sont les propriétés p avec lesquelles on contruit les axiomes (par exemple toutes les formules du langage L(...), en remplaçant les ... par les éléments du langage ; mais si on ne connait pas cet ensemble, le schéma est mal voire non défini." Grâce à es proproétés, on déduit des axiomes?? Ca ne ce fait pas dans l'autre sens d'habitude(avec un ensemble d'axiome on déduit des propriétés?? J'ai l'impression là que le "schéma"est encore plus fondamentale que les axiomes.... ^^

J'ai utilisé le mot propriété car c'est pasrfois ce vocabulaire qui est utilisé pour le schéma de récurrence, mais il faut le prendre ici comme synonyme de proposition. Si on ne précise pas les propositions pour lesquelles ce schéma est valide, on finit par dire des âneries :

Soit P(n) = Un "tas" de sable de n grain(s) n'est pas grand.
Il est clair qu'un "tas" de 0 grains n'est pas grand
Il est évident que si j'ai un "tas" de n grains qui n'est pas grand, alors si je lui ajoute un grain il n'est toujours pas grand (si tu as un doute, tu peux te demander si quelqu'un de "pas riche" peut devenir riche si on lui donne 1 cent; tu peux aussi faire des recherches sur le net : "paradoxe sorite").

Par récurrence je peux en déduire que quelque soit sa taille un tas de sable n'est jamais grand, ce qui est manifestement faux (ou que quelque soit sa fortune un homme n'est jamais riche, ce qui est manifestement faux (à moins que ))

"Est-ce qu'il s'agit des suites de Goodstein ?" vu ce que je lis sur ces suites sur wikipedia, oui ça à beaucoup l'air d'être ça! L'histoire du lièvre que écrit 9 en base 2 puis qui change tous les 2 en 3 et la tortue qui enlève 1, etc etc ^^

C'est bien la suite de Goodstein, sauf qu'il faut lire :
9 en base héréditaire 2 puis qui change tous les 2 en 3